diff --git a/docs/01-tcc.Rnw b/docs/01-tcc.Rnw
index a50f3e6fb82aad9dc4cd91753dc9e7c81cbd7f6c..c6070c01b9baf72dcf81e8ecaa1c09311f3c3b92 100644
--- a/docs/01-tcc.Rnw
+++ b/docs/01-tcc.Rnw
@@ -1,24 +1,3 @@
-%% abtex2-modelo-trabalho-academico.tex, v<VERSION> laurocesar
-%% Copyright 2012-<COPYRIGHT_YEAR> by abnTeX2 group at http://www.abntex.net.br/
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-%%
-
% ------------------------------------------------------------------------
% ------------------------------------------------------------------------
% abnTeX2: Modelo de Trabalho Academico (tese de doutorado, dissertacao de
@@ -45,6 +24,21 @@
svgnames
]{abntex2}
+% ---
+% Novo list of (listings) para QUADROS
+% ---
+
+\newcommand{\quadroname}{Quadro}
+\newcommand{\listofquadrosname}{Lista de quadros}
+
+\newfloat[chapter]{quadro}{loq}{\quadroname}
+\newlistof{listofquadros}{loq}{\listofquadrosname}
+\newlistentry{quadro}{loq}{0}
+
+% configurações para atender às regras da ABNT
+\counterwithout{quadro}{chapter}
+\renewcommand{\cftquadroname}{\quadroname\space}
+\renewcommand*{\cftquadroaftersnum}{\hfill--\hfill}
% ---
% PACOTES
@@ -97,6 +91,7 @@
\usepackage{tikz}
\usepackage{pdflscape} % para ambiente landscape
\usepackage{pgfgantt} % cronograma estilo gráfico de gantt
+\usepackage{multicol}
\usetikzlibrary{backgrounds}
% ---
@@ -142,7 +137,7 @@
% ---
% Informações de dados para CAPA e FOLHA DE ROSTO
% ---
-\titulo{Extensões e Aplicações Modelo de Regressão
+\titulo{Extensões e Aplicações do Modelo de Regressão
Conway-Maxwell-Poisson para Modelagem de Dados de Contagem}
\vspace{2cm}
\autor{Eduardo Elias Ribeiro Junior}
@@ -227,7 +222,7 @@
<<setup, include=FALSE, cache=FALSE>>=
source("_setup.R")
-library(tccPackage)
+library(cmpreg)
@
@@ -314,29 +309,29 @@ library(tccPackage)
representam o número de ocorrências de um evento em um domÃnio
discreto ou contÃnuo. Para análise estatÃstica dessas variáveis, o
modelo de Poisson é amplamente utilizado. Porém, não são raras as
- situações de sub ou superdispersão, que inviabilizam o emprego deste
+ situações de sub ou superdispersão, que inviabilizam o emprego desse
modelo. Uma alternativa paramétrica é o modelo COM-Poisson que, com a
adição de um parâmetro, contempla diferentes nÃveis de dispersão.
- Outras caracterÃsticas bastantes frequentes em dados de contagem são
- frequência excessiva de valores zeros e estrutura de correlação entre
- observações, muitas vezes induzida pelo processo de casualização ou
- amostragem. Nesses casos os modelos adotados devem ser
- adaptados. Neste trabalho são exploradas as caracterÃsticas da
- distribuição COM-Poisson e apresentados os modelos de regressão
- COM-Poisson de efeitos fixos, com modelagem para excesso de zeros e
- incluindo efeitos aleatórios. O emprego dos modelos COM-Poisson e suas
- extensões é ilustrado com aplicações onde seus resultados são
- comparados com as abordagens Poisson, Quasi-Poisson e Binomial
- Negativa (para casos de superdispersão) via nÃveis descritivos de
- testes de razão de verossimilhanças, critério de informação de Akaike
- e predições pontuais e intervalares. O ajuste dos modelos é feito via
- maximização da verossimilhança. Os resultados mostram que o modelo
- Poisson é de fato restritivo, com ajustes inadequados na maioria das
- aplicações. O modelo COM-Poisson, por sua vez, mostrou-se bastante
- flexÃvel com resultados similares aos obtidos via abordagem
- semi-paramétrica Quasi-Poisson. As extensões propostas para o modelo
- COM-Poisson apresentaram resultados satisfatórios, sendo equivalentes
- as abordagens já consolidadas na literatura.
+ Outras caracterÃsticas frequentes em dados de contagem são excesso de
+ contagens nulas e estrutura de correlação entre observações, muitas
+ vezes induzida pelo processo de casualização ou amostragem. Nesses
+ casos os modelos adotados devem ser adaptados. Neste trabalho são
+ exploradas as caracterÃsticas da distribuição COM-Poisson e
+ apresentados os modelos de regressão COM-Poisson de efeitos fixos, com
+ modelagem para excesso de zeros e incluindo efeitos aleatórios. O
+ emprego dos modelos COM-Poisson e suas extensões é ilustrado com
+ aplicações e seus resultados são comparados com as abordagens Poisson,
+ Quasi-Poisson e Binomial Negativa (para casos de superdispersão) via
+ nÃveis descritivos de testes de razão de verossimilhanças, critério de
+ informação de Akaike e predições pontuais e intervalares. O ajuste dos
+ modelos é feito via maximização da verossimilhança. Os resultados
+ mostram que o modelo Poisson é de fato restritivo, com ajustes
+ inadequados na maioria das aplicações. O modelo COM-Poisson, por sua
+ vez, mostrou-se bastante flexÃvel apresentando resultados similares
+ aos obtidos via abordagem semi-paramétrica Quasi-Poisson. As extensões
+ propostas para o modelo COM-Poisson apresentaram resultados
+ satisfatórios, sendo equivalentes às abordagens já consolidadas na
+ literatura.
\textbf{Palavras-chave}:
COM-Poisson; dados de contagem; subdispersão; superdispersão; excesso
@@ -359,6 +354,14 @@ library(tccPackage)
\cleardoublepage
% ---
+% ---
+% inserir lista de quadros
+% ---
+\pdfbookmark[0]{\listofquadrosname}{loq}
+\listofquadros*
+\cleardoublepage
+% ---
+
% ---
% inserir lista de abreviaturas e siglas
% ---
diff --git a/docs/01-tcc.pdf b/docs/01-tcc.pdf
index 9ca8f38c8e826a459c9a1b8d1cab359cb059cc19..3c40772a8dbb3374674a78d31e2b50e756f2a21b 100644
Binary files a/docs/01-tcc.pdf and b/docs/01-tcc.pdf differ
diff --git a/docs/cap01_introducao.Rnw b/docs/cap01_introducao.Rnw
index 84c60fa620a657e47cfb802942494a6582150bf4..838213ce9014a8d6ee0dde2b64e057a9284c6f05 100644
--- a/docs/cap01_introducao.Rnw
+++ b/docs/cap01_introducao.Rnw
@@ -6,20 +6,20 @@ Em diversas áreas do conhecimento é comum o interesse em i) compreender
o relacionamento entre variáveis de interesse e caracterÃsticas de uma
amostra e ii) realizar predições por meio de modelos estatÃsticos
ajustados por dados de uma amostra. A teoria de modelos de regressão
-sustentam muitas das pesquisas na área de EstatÃstica aplicada.
+sustenta muitas das pesquisas na área de EstatÃstica aplicada.
Os modelos de regressão, na sua forma univariada e usual, consistem no
estabelecimento de uma equação matemática que relaciona a média de uma
variável aleatória de interesse (variável resposta) com as demais
-variáveis observadas (covariáveis). Nesta metodologia considera-se uma
-distribuição de probabilidades para a variável resposta condicionada as
-covariáveis cuja média está associada a uma preditor que acomoda os
-efeitos das covariáveis.
+variáveis observadas (covariáveis). Nessa metodologia considera-se uma
+distribuição de probabilidades para a variável resposta condicionada à s
+covariáveis cuja média está associada a um preditor que acomoda os
+efeitos dessas covariáveis.
Pode-se destacar o modelo linear normal como o de uso predominante
dentre os disponÃveis para análises estatÃsticas aplicadas. Esse modelo
-estabelece que a variável resposta condicional as covariáveis tem
-distribuição Normal de média descrita por um preditor linear das
+estabelece que a variável resposta, condicional às covariáveis, tem
+distribuição Normal, de média descrita por um preditor linear das
covariáveis. Todavia, não são raras as situações em que a variável
resposta é uma contagem, assumindo valores inteiros não
negativos. Variáveis aleatórias de contagem, de forma geral, representam
@@ -28,7 +28,7 @@ ser contÃnuo, como um intervalo de tempo ou espaço, ou discreto, como
indivÃduos ou grupos.
A análise de dados de contagem pelo modelo linear normal produz
-estimativas que contêm erros padrões inconsistentes e podem produzir
+estimativas que contêm erros padrões inconsistentes e pode produzir
predições negativas para o número de eventos \cite{King1989}. Uma
alternativa adotada durante muitos anos, e ainda aplicada, é encontrar
alguma forma de transformação da variável resposta a fim de atender aos
@@ -40,57 +40,59 @@ a relação média e variância, caracterÃstica de dados de contagem e iv) o
uso da transformação logarÃtmica é problemática quando há contagens
nulas.
-Diante do problema diferentes abordagens foram propostas, contudo
-destaca-se o trabalho apresentado por \citeonline{Nelder1972} que
-introduz a teoria dos modelos lineares generalizados (MLG's). Esta nova
-classe de modelos flexibilizou a distribuição condicional permitindo que
-outras distribuições pertencentes à famÃlia exponencial fossem
-consideradas para a distribuição da variável resposta. Tal famÃlia
-contempla as distribuições Poisson, Binomial, Gama entre outras bem
-conhecidas na literatura, além da própria distribuição Normal.
-
-Com os MLG's a modelagem de dados passou a ser mais fiel a natureza da
+Diante dos problemas relatados na aplicação de modelos normais para
+análise de dados de contagem, diferentes abordagens foram
+propostas. Destaca-se o trabalho apresentado por \citeonline{Nelder1972}
+que introduz a teoria dos modelos lineares generalizados (MLG's). Essa
+nova classe de modelos flexibilizou a distribuição condicional
+permitindo que outras distribuições pertencentes à famÃlia exponencial
+fossem consideradas para a distribuição da variável resposta. Tal
+famÃlia contempla as distribuições Poisson, Binomial, Gama entre outras
+bem conhecidas na literatura, além da própria distribuição Normal.
+
+Com os MLG's a modelagem de dados passou a ser mais fiel à natureza da
variável resposta, principalmente no que diz respeito ao seu
suporte. Nesse contexto, a análise de variáveis aleatórias de contagem,
que têm suporte nos conjunto dos números naturais, foi enriquecida
expressivamente.
Para análise estatÃstica dessas variáveis, o modelo probabilÃstico de
-Poisson, já consolidado na literatura é amplamente utilizado. Este
+Poisson, já consolidado na literatura, é amplamente utilizado. Esse
modelo possui apenas um parâmetro, denotado por $\lambda$, que
representa a média e também a variância, o que implica em uma relação
identidade ($\lambda = E(Y) = V(Y)$). Essa propriedade, chamada de
equidispersão, é uma particularidade do modelo Poisson que pode não ser
-adequada a diversas situações. Quando aplicado sob negligência desta
+adequada a diversas situações. Quando aplicado sob negligência dessa
suposição, o modelo Poisson apresenta erros padrões inconsistentes para
-as estimativas dos parâmetros e por consequência, para toda função
+as estimativas dos parâmetros e, por consequência, para toda função
desses parâmetros \cite{Winkelmann1995, Winkelmann1994}.
O caso de superdispersão, quando a variância é maior que a média, é o
mais comum e existe uma variedade de métodos para análise de dados
-assim. A superdispersão pode ocorrer pela ausência de covariáveis
-importantes, excesso de zeros, diferentes amplitudes de domÃnio
-(\textit{offset}) não consideradas, heterogeneidade de unidades
+superdispersos. A superdispersão pode ocorrer pela ausência de
+covariáveis importantes, excesso de zeros, diferentes amplitudes de
+domÃnio (\textit{offset}) não consideradas, heterogeneidade de unidades
amostrais, entre outros \cite{RibeiroJr2012}. Para tais casos, uma
-abordagem é a adoção de modelos com efeitos aleatórios que capturam a
-variabilidade extra com a adoção de um ou mais termos de efeito
+abordagem é a adoção de modelos com efeitos aleatórios, que capturam a
+variabilidade extra, com a adoção de um ou mais termos de efeito
aleatório. Um caso particular do modelo Poisson de efeitos aleatórios,
-muito adotado no campo aplicado da EstatÃstica, ocorre quando
-considera-se a distribuição Gama para os efeitos aleatórios, nessa
-situação há expressão fechada para a função de probabilidade
-marginal, que assume a forma Binomial Negativa.
+muito adotado no campo aplicado da EstatÃstica, ocorre quando a
+distribuição Gama é assumida para os efeitos aleatórios. Nessa situação
+há expressão fechada para a função de probabilidade marginal, que assume
+a forma Binomial Negativa.
Outra manifestação de fuga da suposição de equidispersão é a
-subdispersão, situação menos comum na literatura. Os processos que
-reduzem a variabilidade das contagens, abaixo do estabelecido pela
-Poisson, não são tão conhecidos quanto os que produzem variabilidade
-extra. Pela mesma razão, são poucas as abordagens descritas na
-literatura capazes de tratar subdispersão, uma vez que efeitos
-aleatórios só capturam a variabilidade extra. Cita-se os modelos
-de quasi-verossimilhança como a abordagem mais utilizada. Todavia não é
-possÃvel descrever uma distribuição de probabilidades para a variável
-resposta nessa abordagem, pois a modelagem é baseada apenas nos dois
-primeiros momentos da distribuição condicional \cite{Paula2013}.
+subdispersão, situação menos comum na prática e menos relatada na
+literatura. Os processos que reduzem a variabilidade das contagens,
+abaixo do estabelecido pela Poisson, não são tão conhecidos quanto os
+que produzem variabilidade extra. Pela mesma razão, são poucas as
+abordagens descritas na literatura capazes de tratar subdispersão, uma
+vez que efeitos aleatórios só capturam a variabilidade extra. Cita-se os
+modelos de quasi-verossimilhança como a abordagem mais
+utilizada. Todavia não é possÃvel descrever uma distribuição de
+probabilidades para a variável resposta nessa abordagem, pois a
+modelagem é baseada apenas nos dois primeiros momentos da distribuição
+condicional \cite{Paula2013}.
<<processo-pontual, fig.cap="Ilustração de diferentes tipos de processos pontuais. Da direita para esquerda têm-se processos sob padrões aleatório, aglomerado e uniforme.", fig.height=3, fig.width=7>>=
@@ -132,21 +134,21 @@ xyplot(y ~ x | caso, data = da,
@
-A figura \ref{fig:processo-pontual} ilustra, em duas dimensões, a
-ocorrência de equi, super e subdispersão respectivamente. Nesta figura
+A \autoref{fig:processo-pontual} ilustra, em duas dimensões, a
+ocorrência de equi, super e subdispersão respectivamente. Nessa figura
cada ponto representa a ocorrência de um evento e cada parcela,
delimitada pelas linhas pontilhadas, representa a unidade (ou domÃnio)
-na qual tem-se o número de eventos (como variável aleatória). O painel
-da esquerda representa a situação de dados de contagem equidispersos,
-nesse cenário as ocorrências da variável aleatória se dispõem
-aleatoriamente. No painel central o padrão já se altera, tem-se a
-representação do caso de superdispersão. Nesse cenário formam-se
-aglomerados que deixam parcelas com contagens muito elevadas e parcelas
-com contagens baixas. Uma possÃvel causa deste padrão se dá pelo
-processo de contágio (e.g. contagem de casos de uma doença contagiosa,
-contagem de frutos apodrecidos). No terceiro e último painel ilustra-se
-o caso de subdispersão, em que as ocorrências se dispõem uniformemente
-no espaço. Agora as contagens de ocorrências nas parcelas variam bem
+na qual conta-se o número de eventos (como variável aleatória). O painel
+da esquerda representa a situação de dados de contagem equidispersos.
+Nesse cenário as ocorrências dos eventos se dispõem aleatoriamente. No
+painel central o padrão já se altera, tem-se a representação do caso de
+superdispersão. Nesse cenário formam-se aglomerados que deixam parcelas
+com contagens muito elevadas e parcelas com contagens baixas. Uma
+possÃvel causa desse padrão se dá pelo processo de contágio
+(e.g. contagem de casos de uma doença contagiosa, contagem de frutos
+apodrecidos). No terceiro e último painel ilustra-se o caso de
+subdispersão, em que as ocorrências se dispõem uniformemente no
+espaço. Agora as contagens de ocorrências nas parcelas variam bem
pouco. Ao contrário do caso superdisperso uma causa provável seria o
oposto de contágio, a repulsa, ou seja, uma ocorrência causa a repulsa
de outras ocorrências em seu redor (e.g. contagem de árvores, contagem
@@ -154,7 +156,7 @@ de animais territoriais ou que disputam por território).
Uma alterativa paramétrica que contempla os casos de equi, super e
subdispersão é a adoção de uma distribuição mais flexÃvel para a
-variável resposta condicional as covariáveis. \citeonline{Conway1962},
+variável resposta condicional às covariáveis. \citeonline{Conway1962},
antes da formalização dos MLG's, propuseram uma distribuição denominada
COM-Poisson (nome em em homenagem aos seus autores Richard W. Conway,
William L. Maxwell, \textbf{Co}nway-\textbf{M}axwell-Poisson) que
@@ -165,10 +167,10 @@ contemplando os casos de sub e superdispersão \cite{Shmueli2005}.
Uma caracterÃstica bastante relevante é que a COM-Poisson possui como
casos particulares as distribuições Poisson, Geométrica e
Binomial. Portanto, empregando a COM-Poisson como distribuição
-condicional de um modelo de regressão, a imposição de equidispersão não
+condicional em um modelo de regressão, a imposição de equidispersão não
precisa ser satisfeita. Tal flexibilidade, considerando o amplo uso do
modelo Poisson, significa que a COM-Poisson pode ser aplicada nessas
-situações e será especialmente importante naquelas onde há fuga da
+situações e será especialmente importante naquelas em que há fuga da
equidispersão.
Assim como no modelo COM-Poisson vários aspectos do COM-Poisson podem
@@ -177,42 +179,43 @@ experimento sugere uma estrutura de covariância entre observações
induzidas por um processo hierárquico de casualização ou amostragem. São
casos assim os experimentos em parcelas subdivididas e experimentos com
medidas repetidas ou longitudinais. Tais estruturas estabelecem modelos
-com efeitos não observáveis que agem em grupos experimentais e isso pode
-ser incorporado no modelo de regressão COM-Poisson com a inclusão de
-efeitos aleatórios. Da mesma forma, excesso de zeros pode ser
-introduzido a essa distribuição da mesma maneira que ocorre para o
-modelo Poisson, através de truncamento (modelos Hurdle) ou inflação
-(modelos de mistura) \cite{Sellers2016}. Estas extensões do modelo
-COM-Poisson ainda não são bem consolidadas na literatura e são escassas
-suas aplicações. Uma constatação do fato é que não há implementações
-destas extensões nos principais softwares estatÃsticos.
+com efeitos não observáveis e isso pode ser incorporado no modelo de
+regressão COM-Poisson com a inclusão de efeitos aleatórios a nÃvel de
+grupos experimentais. Da mesma forma, excesso de zeros pode ser
+introduzido a essa distribuição como ocorre para o modelo Poisson,
+através de truncamento (modelos Hurdle) ou inflação (modelos de mistura)
+\cite{Sellers2016}. Estas extensões do modelo COM-Poisson ainda não são
+bem consolidadas na literatura e são escassas suas aplicações. Uma
+constatação do fato é que não há implementações destas extensões nos
+principais softwares estatÃsticos.
Na literatura brasileira, aplicações do modelo COM-Poisson são
-escassas. Foram encontradas apenas aplicações na área de Análise de
+raras. Foram encontradas apenas aplicações na área de Análise de
Sobrevivência, mais especificamente em modelos com fração de cura
\cite{Ribeiro2012, Borges2012}. Portanto, o presente trabalho visa
colaborar com a literatura estatÃstica brasileira i) apresentando e
-explorando o modelo de regressão COM-Poisson para dados de contagem, ii)
+explorando o modelo de regressão COM-Poisson para dados de contagem; ii)
estendendo as aplicações desse modelo para situações especÃficas como
-inclusão de efeitos aleatórios e modelagem de excesso de zeros, iii)
-discutindo os aspectos inferenciais por meio de análise de dados reais e
-iv) disponibilizando os recursos computacionais, em formato de pacote R,
-para ajuste dos modelos apresentados. Nas aplicações optou-se também
-pela análise via modelos já disponÃveis para as situações estudadas.
-
-O trabalho é organizado em cinco capÃtulos. Esse primeiro capÃtulo visa
+inclusão de efeitos aleatórios e modelagem de excesso de zeros; iii)
+discutindo os aspectos inferenciais por meio de análise de dados reais;
+e iv) disponibilizando os recursos computacionais, em formato de pacote
+R, para ajuste dos modelos apresentados. Nas aplicações optou-se também
+pela análise via modelos Poisson, Quasi-Poisson e Binomial Negativa para
+comparação de resultados.
+
+O trabalho é organizado em cinco capÃtulos. O primeiro capÃtulo visa
enfatizar as caracterÃsticas das variáveis aleatórias de contagem e suas
lacunas que podem ser complementadas na análise estatÃstica dessas
-variáveis. O capÃtulo \ref{cap:modelos-para-dados-de-contagem} é
-dedicado a revisão bibliográfica dos modelos estatÃsticos empregados a
-análise de dados de contagem. Nesse capÃtulo os modelos Poisson,
-Binomial Negativo, COM-Poisson, as abordagens para excesso de zeros e a
-estrutura dos modelos de efeitos aleatórios são apresentados. No
-capÃtulo \ref{cap:material-e-metodos} são apresentos os conjuntos de
-dados a serem analisados e os métodos para ajuste e comparação dos
-modelos. O capÃtulo \ref{cap:resultados-e-discussao} traz os os
-principais resultados da aplicação e comparação dos modelos estatÃsticos
-com ênfase nas discussões sob aspectos inferenciais
-empÃricos. Finalmente no capÃtulo \ref{cap:consideracoes-finais} são
-apresentadas as considerações finais obtidas desse trabalho e listados
-algumas possÃveis linhas de pesquisa para estudos futuros.
+variáveis. O \autoref{cap:modelos-para-dados-de-contagem} é dedicado a
+revisão bibliográfica dos modelos estatÃsticos empregados à análise de
+dados de contagem. Nesse capÃtulo os modelos Poisson, Binomial Negativo,
+COM-Poisson, as abordagens para excesso de zeros e a estrutura dos
+modelos de efeitos aleatórios são apresentados. No
+\autoref{cap:material-e-metodos} são apresentados os conjuntos de dados
+a serem analisados e os métodos para ajuste e comparação dos modelos. O
+\autoref{cap:resultados-e-discussao} traz os principais resultados da
+aplicação e comparação dos modelos estatÃsticos, com ênfase nas
+discussões sob aspectos inferenciais empÃricos. Finalmente, no
+\autoref{cap:consideracoes-finais} são apresentadas as considerações
+finais obtidas desse trabalho e listadas algumas possÃveis linhas de
+pesquisa para estudos futuros.
diff --git a/docs/cap02_revisao-de-literatura.Rnw b/docs/cap02_revisao-de-literatura.Rnw
index 4d647741b534ce16a55d963d3ed794e913939fdd..70cd424db1942a4d6d8bb1dc5b2a01262ca34c14 100644
--- a/docs/cap02_revisao-de-literatura.Rnw
+++ b/docs/cap02_revisao-de-literatura.Rnw
@@ -7,40 +7,40 @@ quantidade disponÃvel para dados contÃnuos. Destaca-se o modelo
log-linear Poisson como o modelo mais utilizado quando se trata de dados
de contagem. Porém, não raramente os dados de contagens apresentam
variância superior ou inferior à sua média. Esses são os casos de super
-ou subdispersão já enunciados no capÃtulo \ref{cap:introducao}, que
-quando ocorrem inviabilizam o uso da distribuição Poisson.
+ou subdispersão já enunciados no \autoref{cap:introducao} que,
+quando ocorrem, inviabilizam o uso da distribuição Poisson.
-Nos casos de fuga da equidispersão algumas abordagens não paramétricas
+Nos casos de fuga da equidispersão algumas abordagens semi-paramétricas
são empregadas. Nesse contexto, são alternativas os métodos de estimação
via quase-verossimilhança, estimação robusta dos erros padrões
(estimador ``sanduÃche'') e estimação dos erros padrões via reamostragem
(``\textit{bootstrap}'') \cite{Hilbe2014}. Desses métodos detalha-se,
brevemente, somente o método de estimação via função de
-quase-verossimilhança na seção
-\ref{cap02:estimacao-via-quase-verossimilhanca}.
+quase-verossimilhança na
+\autoref{cap02:estimacao-via-quase-verossimilhanca}.
No contexto paramétrico, pesquisas recentes trazem modelos bastante
flexÃveis à fuga de equidispersão no campo da EstatÃstica aplicada, veja
-\citeonline{Sellers2010, Zeviani2014, Lord2010}. Na tabela
-\ref{tab:distribuicoes} são listadas as distribuições de probabilidades
-consideradas por \citeonline{Winkelmann2008} e
+\citeonline{Sellers2010, Zeviani2014, Lord2010}. No
+\autoref{quad:distribuicoes} são listadas as distribuições de
+probabilidades consideradas por \citeonline{Winkelmann2008} e
\citeonline{Kokonendji2014} e as caracterÃsticas de dados de contagem
-que são contempladas. Nota-se que a Poisson na verdade é um caso
-particular, pois é a única das distribuições listadas que contempla
-somente a caracterÃstica de equidispersão, ainda observa-se um
-conjunto maior de distribuições para os casos de superdispersão com
-relação os casos de subdispersão. Embora este grande número de
-distribuições exista para lidar com os casos de fuga de equidispersão,
-são poucos os pacotes estatÃsticos que as disponibilizam como
-alternativas para ajuste de modelos de regressão para dados de contagem.
+que são contempladas. Nota-se que a Poisson na verdade é a única das
+distribuições listadas que contempla somente a caracterÃstica de
+equidispersão. Observa-se um conjunto maior de distribuições para
+os casos de superdispersão com relação aos casos de subdispersão. Embora
+esse grande número de distribuições exista para lidar com os casos de
+fuga de equidispersão, são poucos os pacotes estatÃsticos que as
+disponibilizam como alternativas para ajuste de modelos de regressão
+para dados de contagem.
%%----------------------------------------------------------------------
%% Tabela das distribuições para dados de contagem
-\begin{table}
+\begin{quadro}
\centering
\caption{Distribuições de probabilidades para dados de contagem com
indicação das caracterÃsticas contempladas}
-\label{tab:distribuicoes}
+\label{quad:distribuicoes}
\begin{tabular}{lccc}
\toprule
\multirow{2}{*}{Distribuição} & \multicolumn{3}{c}{Contempla a caracterÃstica de} \\
@@ -64,17 +64,17 @@ Katz & \checkmark & \checkmark & \chec
\small
\item Fonte: Elaborado pelo autor.
\end{tablenotes}
-\end{table}
+\end{quadro}
%%----------------------------------------------------------------------
Dos modelos paramétricos, o Binomial Negativo aparece em destaque com
implementações já consolidadas nos principais \textit{softwares}
estatÃsticos e frequentes aplicações nos casos de superdispersão. Na
-seção \ref{cap02:binomneg} detalhes da construção desses modelos são
-apresentados. Dos demais modelos derivados das distribuições listadas na
-tabela \ref{tab:distribuicoes} este trabalho abordará somente o
-modelo COM-Poisson, que é apresentado com detalhes na seção
-\ref{cap02:compoisson}.
+\autoref{cap02:binomneg} detalhes da construção desses modelos são
+apresentados. Dos demais modelos derivados das distribuições listadas no
+\autoref{quad:distribuicoes} este trabalho abordará somente o modelo
+COM-Poisson, que é apresentado com detalhes na
+\autoref{cap02:compoisson}.
Um outro fenômeno que é frequente em dados de contagem é a ocorrência
excessiva de zeros. Esse fenômeno sugere a modelagem de dois processos
@@ -82,44 +82,42 @@ geradores de dados, o gerador de zeros extra e o gerador das
contagens. Existem ao menos duas abordagens pertinentes para estes casos
que são os modelos de mistura e os modelos condicionais. Na abordagem
por modelos de mistura a variável resposta é modelada como uma mistura
-de duas distribuições, no trabalho de \citeonline{Lambert1992},
+de duas distribuições. \citeonline{Lambert1992} apresenta
uma mistura da distribuição Bernoulli com uma distribuição de Poisson ou
Binomial Negativa. Considerando os modelos condicionais, também chamados
de modelos de barreira \cite{Ridout1998}, tem-se que a modelagem da
variável resposta é realizada em duas etapas. A primeira refere-se ao
processo gerador de contagens nulas e a segunda ao gerador de contagens
não nulas. Nesse trabalho a modelagem de excesso de zeros se dará
-somente via modelos de barreira. A seção \ref{cap02:zeros} é destinada a
+somente via modelos de barreira. A \autoref{cap02:zeros} é destinada a
um breve detalhamento desta abordagem.
Neste capÃtulo também é abordada a situação da inclusão de efeitos
-aleatórios na seção \ref{cap02:aleatorio}. Em análise de dados de
-contagem a inclusão desses efeitos permitem acomodar variabilidade
-extra e incorporar a estrutura amostral do problema como em experimentos
-com medidas repetidas ou longitudinais e experimentos em parcelas
+aleatórios na \autoref{cap02:aleatorio}. Em análise de dados de contagem
+a inclusão desses efeitos permitem acomodar variabilidade extra e
+incorporar a estrutura amostral do problema, como em experimentos com
+medidas repetidas ou longitudinais e experimentos em parcelas
subdivididas.
\section{Modelo Poisson}
\label{cap02:poisson}
-A Poisson é uma das principais distribuição de probabilidades
+A Poisson é uma das principais distribuições de probabilidades
discretas. Com suporte nos inteiros não negativos, uma variável
aleatória segue um modelo Poisson se sua função massa de probabilidade
for
-
\begin{equation}
\label{eqn:pmf-poisson}
- \Pr(Y = y \mid \lambda) = \frac{\lambda^ye^{-\lambda}}{y!}
- \qquad y = 0, 1, 2, \ldots
+ \Pr(Y = y \mid \lambda) = \frac{\lambda^ye^{-\lambda}}{y!},
+ \qquad y = 0, 1, 2, \ldots
\end{equation}
-
-\noindent
-em que $\lambda > 0$ representa a taxa de ocorrência do evento. Uma
-particularidade já destacada desta distribuição é que $E(X) = V(X) =
-\lambda$. Isso torna a distribuição Poisson bastante restritiva. Na
-figura \ref{fig:distr-poisson} são apresentadas as distribuições Poisson
-para diferentes parâmetros, note que devido a propriedade $E(X) = V(X)$
-contagens maiores também são mais dispersas.
+em que $\lambda > 0$ representa a taxa de ocorrência do
+evento. Uma particularidade já destacada desta distribuição é que $E(X)
+= V(X) = \lambda$. Isso torna a distribuição Poisson bastante
+restritiva. Na \autoref{fig:distr-poisson} são apresentadas as
+distribuições Poisson para diferentes parâmetros. Note que, devido a
+propriedade $E(X) = V(X)$, contagens de médias maiores também tem
+probabilidades mais dispersas.
<<distr-poisson, fig.height=3.3, fig.width=6.7, fig.cap="Probabilidades pela distribuição Poisson para diferentes parâmetros.">>=
@@ -147,39 +145,37 @@ distribuição Exponencial. Essa relação estabelece que se os tempos entre
a ocorrência de eventos se distribuem conforme modelo Exponencial de
parâmetro $\lambda$ a contagem de eventos em um intervalo de tempo $t$
tem distribuição Poisson com média $\lambda t$. A distribuição
-\textit{Gamma-Count}, citada na tabela \ref{tab:distribuicoes}, estende
-esta propriedade do processo adotando a distribuição Gama para os tempos
-entre eventos tornando a distribuição da contagem decorrente mais
+\textit{Gamma-Count}, citada no \autoref{quad:distribuicoes}, estende
+essa propriedade do processo adotando a distribuição Gama para os tempos
+entre eventos, tornando a distribuição da contagem decorrente mais
flexÃvel \cite{Winkelmann1995, Zeviani2014}.
Outra propriedade que decorre da construção do modelo Poisson é sobre a
razão entre probabilidades sucessivas, $\frac{\Pr(Y=y-1)}{\Pr(Y=y)} =
\frac{y}{\lambda}$. Essa razão é linear em $y$ e tem sua taxa de
-crescimento ou decrescimento como $\frac{1}{\lambda}$. Os modelos Katz e
+variação instantânea igual a $\frac{1}{\lambda}$. Os modelos Katz e
COM-Poisson se baseiam na generalização dessa razão de probabilidades a
fim de flexibilizar a distribuição de probabilidades.
A utilização do modelo Poisson na análise de dados se dá por meio do
-modelo de regressão Poisson. Seja $Y_i$ variáveis aleatórias
-condicionalmente independentes, dados as covariáveis $X_i$,
-$i=1,2,\ldots,n$. O modelo de regressão log-linear Poisson, sob a teoria
-dos MLG's é definido como
-
+modelo de regressão Poisson. Sejam $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ variáveis
+aleatórias condicionalmente independentes, dado o vetor de covariáveis
+$\underline{x}_i^t=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{ip})$. O modelo de regressão
+log-linear Poisson, sob a teoria dos MLG's, é definido como
\begin{equation}
\label{eqn:reg-poisson}
\begin{split}
- Y_i \mid & X_i \sim \textrm{Poisson}(\mu_i) \\
- &\log(\mu_i) = X_i\beta
+ Y_i \mid & \underline{x}_i \sim \textrm{Poisson}(\mu_i) \\
+ &\log(\mu_i) = \underline{x}_i^t\beta
\end{split}
\end{equation}
-
-\noindent
-em que $\mu_i > 0$ é a média da variável aleatória $Y_i \mid X_i$ que é
-calculada a partir do vetor $\beta \in \mathbb{R}^p$.
+em que $\mu_i > 0$ é a média da variável aleatória $Y_i$ condicionada ao
+vetor de covariáveis $\underline{x}_i^t$, que é calculada a partir do
+vetor $\beta \in \mathbb{R}^p$.
O processo de estimação do vetor $\beta$ é baseado na maximização da
-verossimilhança, que nas distribuições pertencentes à famÃlia
-exponencial, os MLG's, é realizada via algoritmo de mÃnimos quadrados
+função de verossimilhança que, nas distribuições pertencentes à famÃlia
+exponencial, é realizada via algoritmo de mÃnimos quadrados
ponderados iterativamente, ou, do inglês \textit{Iteractive Weighted
Least Squares - IWLS} \cite{Nelder1972}.
@@ -188,50 +184,49 @@ ponderados iterativamente, ou, do inglês \textit{Iteractive Weighted
\citeonline{Wedderburn1974} propôs uma forma de estimação a partir de
uma função biparamétrica, denominada quase-verossimilhança. Suponha
-$y_i$ observações independentes com esperanças $\mu_i$ e variâncias
-$V(\mu_i)$, em que $V$ é uma função positiva e conhecida. A função de
-quase-verossimilhança é expressa como
-
+$Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ variáveis aleatórias independentes com $E(Y_i) =
+\mu_i$ e variâncias $V(\mu_i)$, em que $V$ é uma função
+positiva e conhecida. A função de quase-verossimilhança é expressa como
\begin{equation}
\label{eqn:quase-verossimilhanca}
- Q(\mu_i \mid y_i) = \int_{y_i}^{\mu_i} \frac{y_i - t}{\sigma^2 V(\mu_i)}dt
+ Q(\mu_i \mid y_i) = \int_{y_i}^{\mu_i}
+ \frac{y_i - \mu_i^t}{\sigma^2 V(\mu_i)}d\mu_i^t
\end{equation}
-Na expressão \ref{eqn:quase-verossimilhanca} a função de
-quase-verossimilhança é definida a partir da especificação de $\mu_i$,
-$V(\mu_i)$ e $\sigma^2$. O processo de estimação via maximização dessa
-função compartilha, do método baseado na maximazação da verossimilhança,
-as mesmas estimativas para $\mu_i$, porém a dispersão de $y_i$, $V(y_i)
-= \theta V(\mu_i)$ é corrigida pelo parâmetro adicional $\sigma^2$.
-
-Assim os problemas com a fuga da suposição de equidispersão podem ser
-superados quando a estimação por máxima quase-verossimilhança é
-adotada. Porém um resultado dessa abordagem é que
-
+Na \autoref{eqn:quase-verossimilhanca} a função de quase-verossimilhança
+é definida a partir da especificação de $\mu_i$, $V(\mu_i)$ e
+$\sigma^2$. O processo de estimação via maximização dessa função
+compartilha, do método baseado na maximazação da função de
+verossimilhança, as mesmas estimativas para $\mu_i$, porém a dispersão
+de $y_i$ é corrigida pelo parâmetro adicional $\sigma^2$, $V(y_i) =
+\sigma^2 V(\mu_i)$.
+
+Com a adição desse parâmetro de dispersão $\sigma^2$, os problemas com a
+fuga da suposição de equidispersão são superados. Porém um resultado
+dessa abordagem é que
\begin{equation}
\label{eqn:quasi-informacao}
-E\left ( \frac{\partial^2 Q(\mu \mid y)}{\partial \mu^2} \right) \leq
-E\left ( \frac{\partial^2 \ell(\mu \mid y)}{\partial \mu^2} \right)
\end{equation}
-
-\noindent
-ou seja a informação a respeito de $\mu$ quando se conhece apenas
+ou seja, a informação a respeito de $\mu$ quando se descreve apenas
$\sigma^2$ e $V(\mu)$, a relação entre média e variância, é menor do que
-a informação quando se conhece a distribuição da variável resposta, dada
-pela log-verossimilhança $\ell(\mu \mid y)$. Além disso ressalta-se que,
-de forma geral, não é possÃvel descrever uma distribuição de
+a informação quando se descreve a distribuição da variável resposta,
+dada pela log-verossimilhança $\ell(\mu \mid y)$. Além disso ressalta-se
+que, de forma geral, não é possÃvel descrever uma distribuição de
probabilides para $Y$ somente com as especificações de $\sigma^2$ e
$V(\mu)$.
-Em modelos de regressão, $g(\mu_i) = X\beta$ e $V(\mu_i)$ definem a
-função de quase-verossimilhança. Nessa abordagem são estimados os
-parâmetros $\beta$ e $\sigma^2$. A estimativa do vetor $\beta$ pode ser
-obtidas pelo algoritmo \textit{IWLS}. Usando as funções quase-escore e
-matriz de quase-informação chega-se ao mesmo algoritmo de estimação dado
-no caso Poisson, que não depende de $\sigma^2$. O parâmetro $\sigma^2$ é
-estimado separadamente, pós estimação dos $\beta$'s. Um estimador usual
-é o baseado na estatÃstica $\chi^2$ de Pearson.
-
+Em modelos de regressão, $g(\mu_i) = \underline{x}_i^t\beta$ e
+$V(\mu_i)$ definem a função de quase-verossimilhança. Nessa abordagem
+são estimados os parâmetros $\beta$ e $\sigma^2$. A estimação do vetor
+$\beta$ pode ser realizada pelo algoritmo \textit{IWLS}. Usando as
+funções quase-escore, derivadas de primeira ordem da função $Q(\mu_i
+\mid y_i)$ em relaçao aos $\beta$'s, e matriz de quase-informação,
+derivadas de segunda ordem, chega-se ao mesmo algoritmo de estimação
+dado no caso Poisson, que não depende de $\sigma^2$. O parâmetro
+$\sigma^2$ é estimado separadamente, pós estimação dos $\beta$'s. Um
+estimador usual é o baseado na estatÃstica $\chi^2$ de Pearson
\begin{equation}
\label{eqn:estimador-theta}
\hat{\sigma^2} = \frac{1}{n-p} \sum_{i=1}^n
@@ -241,11 +236,10 @@ estimado separadamente, pós estimação dos $\beta$'s. Um estimador usual
\section{Modelo Binomial Negativo}
\label{cap02:binomneg}
-Uma das principais alternativas paramétricas para dados de contagem
-superdispersos é a distribuição Binomial Negativa. A função massa de
-probabilidade da distribuição Binomial Negativa pode ser deduzida de um
-processo hierárquico de efeitos aleatórios onde se assume que
-
+Uma das principais distribuições paramétricas para dados de contagem
+superdispersos é a Binomial Negativa. A função massa de probabilidade da
+distribuição Binomial Negativa pode ser deduzida de um processo
+hierárquico de efeitos aleatórios em que se assume
\begin{equation}
\label{eqn:proc-binomneg}
\begin{split}
@@ -254,44 +248,6 @@ processo hierárquico de efeitos aleatórios onde se assume que
\end{split}
\end{equation}
-\noindent
-A função massa de probabilidade decorrente da estrutura descrita em
-\ref{eqn:proc-binomneg} é deduzida integrando os efeitos aleatórios.
-Considere $f(y \mid b)$ como a função massa de probabilidade da
-distribuição Poisson (vide expressão em \ref{eqn:pmf-poisson}) e $g(b
-\mid \mu, \phi)$ a função densidade da distribuição Gama \footnote{O
- desenvolvimento detalhado da integral pode ser visto em
- \citeonline[pág. 303-305]{Paula2013}. Obs.: A função densidade do
- modelo Gama está parametrizada para que $\mu$ represente a média da
- distribuição.}
-
-\begin{equation}
- \label{eqn:proc-binomneg}
- \begin{split}
- \Pr(Y = y \mid \mu,\theta) &= \int_0^\infty f(y \mid b)
- g(b \mid \mu,\theta) db\\
- &= \frac{\theta^\theta}{y!\mu^\theta\Gamma(\theta)}
- \int_0^\infty e^{-b(1 + \theta/\mu)} b^{y+\theta-1}db \\
- &= \frac{\Gamma(\theta + y)}{\Gamma(y+1)\Gamma(\theta)}
- \left ( \frac{\mu}{\mu + \theta} \right )^y
- \left ( \frac{\theta}{\mu + \theta} \right )^\theta
- \qquad y = 0, 1, 2, \cdots
- \end{split}
-\end{equation}
-
-\noindent
-com $\mu >0$ e $\theta > 0$. Esse é um caso particular de um modelo de
-efeito aleatório cuja integral tem solução analÃtica e por consequência
-o modelo marginal tem forma fechada. Outro caso que se baseia no mesmo
-princÃpio é o modelo \textit{Inverse Gaussian Poisson}, que como o nome
-sugere adota a distribuição Inversa Gaussiana para os efeitos
-aleatórios. Na figura \ref{fig:distr-binomneg} são apresentadas as
-distribuições Binomial Negativa para diferentes parâmetros $\theta$ em
-comparação com a distribuição Poisson equivalente em locação. Note que
-quanto menor o parâmetro $\theta$, maior a dispersão da
-distribuição. Isso introduz uma propriedade importante desse modelo,
-para $\theta \to \infty$ a distribuição reduz-se a Poisson.
-
<<distr-binomneg, fig.height=3.4, fig.width=6.7, fig.cap="Probabilidades pela distribuição Binomial Negativa para diferentes nÃveis de dispersão, fixando a média em 5.">>=
##-------------------------------------------
@@ -343,13 +299,13 @@ xyplot(values ~ c(y - 0.15) | ind, data = da.po,
type = "h", col = cols[2]))
for(i in 1:3){
trellis.focus("panel", i, 1, highlight=FALSE)
- grid::grid.text(label = sprintf("E[Y]: %.1f\nV[Y]: %.1f",
+ grid::grid.text(label = sprintf("E(Y): %.1f\nV(Y): %.1f",
mu, mu),
x = .62, y = 0.03,
default.units = "npc",
gp = grid::gpar(col = cols[1]),
just = c("left", "bottom"))
- grid::grid.text(label = sprintf("E[Y]: %.1f\nV[Y]: %.1f",
+ grid::grid.text(label = sprintf("E(Y): %.1f\nV(Y): %.1f",
mu, vars[i]),
x = .08, y = 0.03,
default.units = "npc",
@@ -360,14 +316,39 @@ trellis.unfocus()
@
-Os momentos média e variância da distribuição Binomial Negativa são
-expressos como $E(Y) = \mu$ e $V(Y) = \mu + \mu^2/\sigma^2$. Pelas
-expressões fica evidente a caracterÃstica da Binomial Negativa de
-acomodar somente superdispersão, pois $E(Y)$ é menor que $V(Y)$ para
-qualquer $\sigma^2$. Percebe-se também que quanto maior o parâmetro
-$\sigma^2$ mais $E(Y)$ se aproxima de $V(Y)$, e no limite, quando
-$\sigma^2 \rightarrow \infty$, $E(Y) = V(Y)$ fazendo com que a
-distribuição Binomial Negativa se reduza a Poisson.
+A função massa de probabilidade de $Y$, decorrente da estrutura descrita
+na \autoref{eqn:proc-binomneg} é deduzida integrando os efeitos
+aleatórios. Considere $f(y \mid b)$ como a função massa de
+probabilidade da distribuição Poisson (vide \autoref{eqn:pmf-poisson}) e
+$g(b \mid \mu, \phi)$ a função densidade da distribuição Gama
+\footnote{O desenvolvimento detalhado da integral pode ser visto em
+ \citeonline[pág. 303-305]{Paula2013}. Obs.: A função densidade do
+ modelo Gama está parametrizada para que $\mu$ represente a média da
+ distribuição.}
+\begin{equation}
+ \label{eqn:proc-binomneg}
+ \begin{split}
+ \Pr(Y = y \mid \mu,\theta) &= \int_0^\infty f(y \mid b)
+ g(b \mid \mu,\theta) db\\
+ &= \frac{\theta^\theta}{y!\mu^\theta\Gamma(\theta)}
+ \int_0^\infty e^{-b(1 + \theta/\mu)} b^{y+\theta-1}db \\
+ &= \frac{\Gamma(\theta + y)}{\Gamma(y+1)\Gamma(\theta)}
+ \left ( \frac{\mu}{\mu + \theta} \right )^y
+ \left ( \frac{\theta}{\mu + \theta} \right )^\theta,
+ \qquad y = 0, 1, 2, \cdots
+ \end{split}
+\end{equation}
+com $\mu >0$ e $\theta > 0$. Esse é um caso particular de um modelo de
+efeito aleatório, cuja integral tem solução analÃtica e, por
+consequência, o modelo marginal tem forma fechada. Outro caso que se
+baseia no mesmo princÃpio é o modelo \textit{Inverse Gaussian Poisson},
+que, como o nome sugere, adota a distribuição Inversa Gaussiana para os
+efeitos aleatórios. Na \autoref{fig:distr-binomneg} são apresentadas
+as distribuições Binomial Negativa para diferentes parâmetros $\theta$
+em comparação com a distribuição Poisson, equivalente em locação. Note
+que quanto menor o parâmetro $\theta$, maior a dispersão da
+distribuição. Isso introduz uma propriedade importante desse modelo,
+para $\theta \to \infty$ a distribuição reduz-se a Poisson.
<<mv-binomneg, fig.height=4, fig.width=4, fig.cap="Relação Média e Variância na distribuição Binomial Negativa.">>=
@@ -409,51 +390,55 @@ fonte("Fonte: Elaborado pelo autor.", cex = 0.95)
@
-A relação funcional entre média e variância é ilustrada na figura
-\ref{fig:mv-binomneg} onde são apresentadas as médias e variâncias para
-$\mu$ entre 0 e 10 e $\theta$ entre 0 e 50. O comportamento dessa
-relação proporciona um maior flexibilidade à distribuição em acomodar
-superdispersão, uma caracterÃstica importante exibida nesta figura é que
-para a Binomial Negativa se aproximar a Poisson em contagens altas o
-$\theta$ deve ser extremamente grande.
+Os momentos média e variância da distribuição Binomial Negativa são
+dados por $E(Y) = \mu$ e $V(Y) = \mu + \mu^2/\sigma^2$. Pelas expressões
+fica evidente a caracterÃstica da Binomial Negativa de acomodar somente
+superdispersão, pois $E(Y)$ é menor que $V(Y)$ para qualquer
+$\sigma^2$. Percebe-se também que quanto maior o parâmetro $\sigma^2$
+mais $E(Y)$ se aproxima de $V(Y)$, e no limite, quando $\sigma^2
+\rightarrow \infty$, $E(Y) = V(Y)$ fazendo com que a distribuição
+Binomial Negativa se reduza à Poisson.
+
+A relação funcional entre média e variância é ilustrada na
+\autoref{fig:mv-binomneg} em que são apresentadas as médias e variâncias
+para $\mu$, entre 0 e 10, e $\theta$, entre 0 e 50. O comportamento
+dessa relação proporciona uma maior flexibilidade à distribuição em
+acomodar superdispersão. Uma caracterÃstica importante exibida nessa
+figura é que para a Binomial Negativa se aproximar da Poisson em médias
+altas o $\theta$ deve ser extremamente grande.
O emprego do modelo Binomial Negativo em problemas se regressão ocorre
de maneira similar aos MLG's, com exceção de que a distribuição só
-pertence a famÃlia exponencial de distribuições se o parâmetro $\theta$
-for conhecido e assim o processo sofre algumas
-alterações. Primeiramente, assim como na Poisson, defini-se $g(\mu_i) =
-X\beta$, comumente utiliza-se a função $g(\mu_i) =
-\log(\mu_i)$. Desenvolvendo a log-verossimilhança e suas funções
-derivadas, função escore e matriz de informação de Fisher, mostra-se que
-matriz de informação é bloco diagonal caracterizando a ortogonalidade
-dos parâmetros $\beta$ de locação e $\theta$ de dispersão. Deste fato
-decorre que a estimação dos parâmetros pode ser realizada em paralelo,
-ou seja, estima-se o vetor $\beta$ pelo método de \textit{IWLS} e
-posteriormente o parâmetro $\theta$ pelo método de Newton-Raphson,
-faz-se os dois procedimentos simultaneamente até a convergência das
-estimativas.
+pertence à famÃlia exponencial de distribuições se o parâmetro $\theta$
+for fixado e assim o processo sofre algumas alterações. Primeiramente,
+assim como na Poisson, define-se $g(\mu_i) = \underline{x}_i^t\beta$,
+comumente utiliza-se a função $g(\mu_i) = \log(\mu_i)$. A partir da
+log-verossimilhança e suas funções derivadas, função escore e matriz de
+informação de Fisher, mostra-se que matriz de informação é bloco
+diagonal caracterizando a ortogonalidade dos parâmetros $\beta$ de
+locação e $\theta$ de dispersão. Desse fato decorre que a estimação dos
+parâmetros pode ser realizada em paralelo, ou seja, estima-se o vetor
+$\beta$ pelo algoritmo \textit{IWLS} e posteriormente o parâmetro
+$\theta$ pelo método de Newton-Raphson. Os dois procedimentos são
+realizados simultaneamente até a convergência das estimativas.
\section{Modelo COM-Poisson}
\label{cap02:compoisson}
A distribuição de probabilidades COM-Poisson foi proposta por
-\citeonline{Conway1962}, em um contexto de filas e generaliza a Poisson
+\citeonline{Conway1962}, em um contexto de filas, e generaliza a Poisson
em termos da razão de probabilidades sucessivas, como será visto
-adiante. Seja $Y$ uma variável aleatória COM-Poisson, então sua função
+adiante. Seja $Y$ uma variável aleatória COM-Poisson então sua função
massa de probabilidade é
-
\begin{equation}
\label{eqn:pmf-compoisson}
- \Pr(Y=y \mid \lambda, \nu) = \frac{\lambda^y}{(y!)^\nu Z(\lambda, \nu)}
+ \Pr(Y=y \mid \lambda, \nu) = \frac{\lambda^y}{(y!)^\nu Z(\lambda, \nu)},
\qquad y = 0, 1, 2, \ldots
\end{equation}
-
-\noindent
em que $\lambda > 0$, $\nu \geq 0$ e $Z(\lambda, \nu)$ é uma constante
-de normalização, calculada para que de fato \ref{eqn:pmf-compoisson}
-seja uma função massa de probabilidade ($\sum_{i=1}^\infty \Pr(Y = y) =
-1$). $Z(\lambda, \nu)$ é definida como se segue
-
+de normalização, calculada para que de fato a \autoref{eqn:pmf-compoisson}
+seja uma função massa de probabilidade ($\sum_{i=0}^\infty \Pr(Y = i) =
+1$). A função $Z(\lambda, \nu)$ é definida como se segue
\begin{equation}
\label{eqn:constante-z}
Z(\lambda, \nu) = \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{(j!)^\nu}
@@ -461,26 +446,23 @@ seja uma função massa de probabilidade ($\sum_{i=1}^\infty \Pr(Y = y) =
O fato que torna a distribuição COM-Poisson mais flexÃvel é a razão
entre probabilidades sucessivas
-
\begin{equation}
\label{eqn:prob-ratio}
\frac{\Pr(Y=y-1)}{\Pr(Y=y)} = \frac{y^\nu}{\lambda}
\end{equation}
-
-\noindent
-que se caracteriza não necessariamente linear em $y$, diferentemente da
-Poisson, o que permite caudas mais pesadas ou mais leves à distribuição
-\cite{Sellers2010}. Na figura \ref{fig:distr-compoisson} são
+que se caracteriza não, necessariamente, linear em $y$, diferentemente
+da Poisson, o que permite caudas mais pesadas ou mais leves Ã
+distribuição \cite{Sellers2010}. Na \autoref{fig:distr-compoisson} são
apresentadas as distribuições COM-Poisson para diferentes valores de
$\lambda$ e $\nu$, em contraste com as equivalentes, em locação,
distribuições Poisson. Nessa figura pode-se ver a flexibilidade desse
modelo, pois i) contempla o caso de subdispersão mesmo em contagens
baixas ($E(Y)=3$, painel a esquerda), a distribuição permite caudas
-pesadas e consequentemente uma dispersão extra Poisson, ii) contempla
+pesadas e consequentemente uma dispersão extra Poisson; ii) contempla
subdispersão mesmo em contagens altas, onde na Poisson tem-se
variabilidade na mesma magnitude, na COM-Poisson pode-se ter caudas mais
leves concentrando as probabilidades em torno da média (painel a
-direita) e iii) tem como caso particular a Poisson quando o parâmetro
+direita); e iii) tem como caso particular a Poisson quando o parâmetro
$\nu = 1$ (painel central).
<<distr-compoisson, fig.height=3.4, fig.width=6.7, fig.cap="Probabilidades pela distribuição COM-Poisson para diferentes parâmetros.">>=
@@ -542,13 +524,13 @@ xyplot(values ~ c(y - 0.15) | ind, data = da.po,
type = "h", col = cols[2]))
for(i in 1:3){
trellis.focus("panel", i, 1, highlight=FALSE)
- grid::grid.text(label = sprintf("E[Y]: %.1f\nV[Y]: %.1f",
+ grid::grid.text(label = sprintf("E(Y): %.1f\nV(Y): %.1f",
mus[i], mus[i]),
x = .57, y = 0.03,
default.units = "npc",
gp = grid::gpar(col = cols[1]),
just = c("left", "bottom"))
-grid::grid.text(label = sprintf("E[Y]: %.1f\nV[Y]: %.1f",
+grid::grid.text(label = sprintf("E(Y): %.1f\nV(Y): %.1f",
mus[i], vars[i]),
x = .05, y = 0.03,
default.units = "npc",
@@ -561,19 +543,19 @@ trellis.unfocus()
Uma das vantagens do modelo COM-Poisson é que possui, além da Poisson
quando $\nu = 1$, outras distribuições bem conhecidas como casos
-particulares. Esses casos particulares ocorrem essencialmente devido a
-forma assumida pela série infinita $Z(\lambda, \nu)$. Quando $\lambda =
-1$, $Z(\lambda, \nu = 1) = e^\lambda$ e substituindo na expressão
-\ref{eqn:pmf-compoisson}, tem-se a distribuição Poisson
+particulares. Esses casos particulares ocorrem essencialmente devido Ã
+forma assumida pela série infinita $Z(\lambda, \nu)$. Quando $\nu = 1$,
+$Z(\lambda, \nu = 1) = e^\lambda$ e substituindo na
+\autoref{eqn:pmf-compoisson}, tem-se a distribuição Poisson
resultante. Quando $\nu \rightarrow \infty,\, Z(\lambda, \nu)
\rightarrow 1+\lambda$ e a distribuição COM-Poisson se aproxima de uma
distribuição Bernoulli com $P(Y=1)=\frac{\lambda}{1+\lambda}$. E quando
$\nu = 0$ e $\lambda < 1$ $Z(\lambda, \nu)$ é uma soma geométrica que
-resulta em $(1-\lambda)^{-1}$ e a expressão \ref{eqn:pmf-compoisson} se
-resume a uma distribuição Geométrica com $P(Y=0)=(1-\lambda)$
-\cite{Shmueli2005}. Os três respectivos casos particulares citados são
-ilustrados na figura \ref{fig:casos-particulares}, onde os parâmetros
-foram escolhidos conforme restrições para redução da distribuição.
+resulta em $(1-\lambda)^{-1}$ e a \autoref{eqn:pmf-compoisson} se resume
+a uma distribuição Geométrica com $P(Y=0)=(1-\lambda)$
+\cite{Shmueli2005}. Os três casos particulares citados são ilustrados na
+\autoref{fig:casos-particulares}, onde os parâmetros foram escolhidos
+conforme restrições para redução da distribuição.
<<casos-particulares, fig.height=3, fig.width=7, fig.cap="Exemplos de casos particulares da distribuição COM-Poisson.">>=
@@ -617,7 +599,7 @@ xyplot(values ~ y | ind, data = da,
layout = c(NA, 1),
par.strip = list(lines = 2, col = "transparent"),
sub = "Fonte: Elaborado pelo autor.")
-distr <- c("Poisson", "Bernoulli", "Geométrica")
+distr <- expression("Poisson", ""%~~%"Bernoulli", "Geométrica")
##-------------------------------------------
## http://stackoverflow.com/questions/33632344/strip-with-two-lines-title-r-lattice-plot
for (i in 1:3) {
@@ -636,7 +618,6 @@ for (i in 1:3) {
Um inconveniente desse modelo é que os momentos média e variância não
tem forma fechada. Sendo assim, devem ser calculados a partir da
definição
-
$$
E(Y) = \sum_{y = 0}^{\infty} y \cdot p(y) \qquad \textrm{e} \qquad
V(Y) = \sum_{y = 0}^{\infty} y^2 \cdot p(y) - E^2(Y)
@@ -644,27 +625,23 @@ $$
\citeonline{Shmueli2005}, a partir de uma aproximação para $Z(\lambda,
\nu)$, apresenta uma forma aproximada para os momentos da distribuição
-
\begin{equation}
\label{eqn:cmp-mean-aprox}
E(Y) \approx \lambda^{1/\nu} - \frac{\nu - 1}{2\nu} \qquad
\textrm{e} \qquad
V(Y) \approx \frac{\lambda^{1/\nu}}{\nu}
\end{equation}
-
-\noindent
os autores ressaltam que essa aproximação é satisfatória para $\nu \leq
-1$ ou $\lambda > 10^\nu$. Na figura \ref{fig:mv-compoisson} é
-representada a relação média e variância aproximada pelas expressões em
+1$ ou $\lambda > 10^\nu$. Na \autoref{fig:mv-compoisson} é representada
+a relação média e variância aproximada pelas expressões em
\ref{eqn:cmp-mean-aprox}. Percebe-se que a relação é praticamente linear
entre média e variância, \citeonline{Sellers2010} descrevem que essa
pode ser relação pode, ainda, ser aproximada por
-$\frac{1}{\nu}E(Y)$. Dessas aproximações, bem como das visualizações em
-\ref{fig:distr-compoisson}, \ref{fig:casos-particulares} e
-\ref{fig:mv-compoisson} deduz-se que o parâmetros $\nu$, ou
-$\frac{1}{\nu}$, controla a precisão da distribuição, sendo ela
-equidispersa quando $\nu = 1$, superdispersa quando $\nu < 1$ e
-subdispersa quando $\nu > 1$.
+$\frac{1}{\nu}E(Y)$. Dessas aproximações, bem como das visualizações na
+\autoref{fig:distr-compoisson}, \autoref{fig:casos-particulares} e
+\autoref{fig:mv-compoisson}, deduz-se que o parâmetro $\nu$, controla a
+precisão da distribuição, sendo ela equidispersa quando $\nu = 1$,
+superdispersa quando $\nu < 1$ e subdispersa quando $\nu > 1$.
<<mv-compoisson, fig.height=4, fig.width=4, fig.cap="Relação Média e Variância na distribuição COM-Poisson.">>=
@@ -693,7 +670,7 @@ title(xlab = expression(E(X) == lambda^{1/nu} - frac(nu-1, 2*nu)),
line = 4)
grid()
-## Curvas da relação média e variância da Binomial Negativa
+## Curvas da relação média e variância da COM-Poisson
for (a in seq_along(nu)) {
curve((1/nu[a])*(mu + (nu[a] - 1)/(2*nu[a])),
add = TRUE, xname = "mu", col = col[a], lwd = 2)
@@ -705,46 +682,44 @@ plotrix::color.legend(
rect.col = col)
mtext(text = expression(nu), side = 3, cex = 1.3,
line = -3.5, at = 11.5)
+abline(0, 1)
fonte("Fonte: Elaborado pelo autor.", cex = 0.95)
-wrapfigure()
-
@
-Embora o modelo COM-Poisson não tenha expressão fechada para a média da
-distribuição pode-se utilizá-lo como modelo associado a distribuição
-condicional da variável resposta de contagem. Isso é feito incorporando
-um preditor linear em $\lambda$, que mesmo não representando a média,
+Embora a distribuição COM-Poisson não tenha expressão fechada para a
+média, pode-se utilizá-la como distribuição condicional da variável
+resposta de contagem em modelos de regressão. Isso é feito incorporando
+um preditor linear em $\lambda$ que, mesmo não representando a média,
está associado com a locação da distribuição, ou seja, modela-se a média
indiretamente nessa abordagem. O modelo de regressão é definido com as
variáveis aleatórias condicionalmente independentes $Y_1, Y_2, \ldots,
-Y_n$, dado o vetor de covariáveis $X_i = (x_{i1}, x_{i2}, \ldots,
-x_{ip})$ seguindo um modelo COM-Poisson de parâmetros $\lambda_i =
-e^{X_i\beta}$, $i = 1, 2, \ldots, n$ e $\nu$ comum a todas as
-observações. Na expressão \ref{eqn:reg-poisson} o modelo é devidamente
-formulado, conforme a notação de MLG's
+Y_n$, dado o vetor de covariáveis $\underline{x}_i = (x_{i1}, x_{i2},
+\ldots, x_{ip})$ seguindo um modelo COM-Poisson de parâmetros $\lambda_i
+= e^{\underline{x}_i^t\beta}$, $i = 1, 2, \ldots, n$ e $\nu$ comum a
+todas as observações. Na \autoref{eqn:reg-compoisson} o modelo é
+devidamente formulado, conforme a notação de MLG's
\begin{equation}
\label{eqn:reg-compoisson}
\begin{split}
- Y_i \mid & X_i \sim \textrm{COM-Poisson}(\lambda_i, \nu) \\
- &\eta(E(Y_i \mid X_i)) = \log(\lambda_i) = X_i\beta
+ Y_i \mid & \underline{x}_i \sim \textrm{COM-Poisson}(\lambda_i,
+ \nu) \\
+ &g(E(Y_i \mid \underline{x}_i)) =
+ \log(\lambda_i) = \underline{x}_i^t\beta
\end{split}
\end{equation}
O algoritmo para estimação do conjunto de parâmetros $\Theta = (\nu,
-\beta)$ do modelo é baseado na maximização da log-verossimilhança, que
-decorrente da especificação em \ref{eqn:reg-compoisson} é
-
+\beta)$ do modelo é baseado na maximização da log-verossimilhança que,
+decorrente da especificação em \ref{eqn:reg-compoisson}, é dada por
\begin{equation}
\label{eqn:loglik-compoisson}
- \ell(\nu, \beta \mid \underline{y}) = \sum_i^n y_i \log(\lambda_i) -
- \nu \sum_i^n \log(y!) - \sum_i^n \log(Z(\lambda_i, \nu))
+ \ell(\nu, \beta \mid \underline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i
+ \log(\lambda_i) - \nu \sum_{i=1}^n \log(y!) - \sum_{i=1}^n
+ \log(Z(\lambda_i, \nu))
\end{equation}
-
-\noindent
e então as estimativas de máxima verossimilhança são
-
$$
\hat{\Theta} = (\hat{\nu}, \hat{\beta}) =
\underset{(\nu,\,\beta)}{\textrm{arg max }} \ell(\nu, \beta \mid
@@ -753,21 +728,6 @@ $$
<<constante-z, fig.height=3, fig.width=6.7, fig.cap="Convergência da constante de normalização da COM-Poisson para diferentes conjuntos de parâmetros.">>=
-##-------------------------------------------
-## Calcula Z para um c(lambda, phi)
-funZ <- function(lambda, nu, maxit = 500, tol = 1e-5) {
- z <- rep(NA, maxit)
- j = 1
- ##
- z[j] <- exp(j * log(lambda) - nu * lfactorial(j))
- ##
- while (abs(z[j] - 0) > tol && j <= maxit) {
- j = j + 1
- z[j] <- exp(j * log(lambda) - nu * lfactorial(j))
- }
- return(cbind("j" = 0:j, "z" = c(1, z[!is.na(z)])))
-}
-
##-------------------------------------------
## Parametros da distribuição
pars <- list("p1" = c(1.362, 0.4), "p2" = c(8, 1), "p3" = c(915, 2.5))
@@ -801,22 +761,22 @@ xyplot(z ~ j | .id, data = da,
@
-Para avaliação da log-verossimilhança em \ref{eqn:loglik-compoisson} a
-constante de normalização $Z(\lambda, \nu)$, conforme definida em
-\ref{eqn:constante-z} é calcula para cada observação o que
+Para avaliação da log-verossimilhança, \autoref{eqn:loglik-compoisson},
+a constante de normalização $Z(\lambda, \nu)$, conforme definida em
+\ref{eqn:constante-z}, é calculada para cada observação, o que
potencialmente torna o processo de estimação lento. Uma ilustração do
número de incrementos considerados para cálculo da constante $Z(\lambda,
-\nu)$ é apresentada na figura \ref{fig:constante-z}. Nesta ilustração
-foram utilizados os mesmos parâmetros definidos em
-\ref{fig:distr-compoisson} e o número de incrementos
-considerados para convergência \footnote{Adotou-se como critério de
- convergência a iteração $j$ tal que $\lambda^j/(j!)^\nu <
- 0,00001$}. de $Z(\lambda, \nu)$ foram \Sexpr{c(table(da[, ".id"]))}
-nos primeiro, segundo e terceiro painéis respectivamente.
+\nu)$ é apresentada na \autoref{fig:constante-z}. Nesta ilustração
+foram utilizados os mesmos parâmetros das distribuições na
+\autoref{fig:distr-compoisson}. O número de incrementos necessários para
+convergência\footnote{Adotou-se como critério de convergência a
+ iteração $j$ tal que $\lambda^j/(j!)^\nu < 0,00001$} de $Z(\lambda,
+\nu)$ foram \Sexpr{c(table(da[, ".id"]))} nos primeiro, segundo e
+terceiro painéis respectivamente.
Detalhes computacionais do algoritmo de maximização e manipulações
algébricas para eficiência na avaliação da log-verossimilhança no modelo
-COM-Poisson são discutidos na seção \ref{cap03:metodos}.
+COM-Poisson são discutidos na \autoref{cap03:metodos}.
\section{Modelos para excesso de zeros}
\label{cap02:zeros}
@@ -824,31 +784,33 @@ COM-Poisson são discutidos na seção \ref{cap03:metodos}.
Problemas com excesso de zeros são comuns em dados de
contagem. Caracteriza-se como excesso de zeros casos em que a quantidade
observada de contagens nulas supera substancialmente aquela esperada
-pelo modelo de contagem adotado. No caso do modelo Poisson a fração de
-zeros é $e^{-\lambda}$.
+pelo modelo de contagem adotado.
-As contagens nulas que geram o excesso de zeros podem ser explicadas de
+As contagens nulas em dados com excesso de zeros podem ser explicadas de
duas formas distintas. A primeira denomina-se de zeros estruturais,
quando a ocorrência de zero se dá pela ausência de determinada
-caracterÃstica na população e a segunda, que zeros amostrais que
-ocorrem segundo um processo gerador de dados de contagem (e.g processo
+caracterÃstica na população e a segunda de zeros amostrais, que ocorrem
+segundo um processo gerador de dados de contagem (e.g processo
Poisson). Por exemplo, considerando o número de dias que uma famÃlia
consome um determinado produto, tem-se aquelas famÃlias que não consomem
o produto (zeros estruturais) e as demais famÃlias que consomem o
produto, porém não o consumiram no intervalo de tempo considerado no
-estudo (zeros amostrais). Assim, de forma geral são dois processos
+estudo (zeros amostrais). Assim, de forma geral, são dois processos
geradores de dados em uma variável aleatória de contagem com excessivos
zeros.
-Em geral, quando dados de contagem apresentam excessos de valores zero
-também apresentarão superdispersão. Todavia, essa dispersão pode ser
-exclusivamente devido ao excesso de zeros e assim os modelos
-alternativos já apresentados não terão um bom desempenho. Uma ilustração
-deste fato é apresentada na figura \ref{fig:ilustra-zeros}, em que foram
-simulados dados com excesso de zeros e ajustado um modelo
-COM-Poisson. Em ambos os casos o modelo não se ajustou adequadamente,
-indicando que os excessos de zeros devem ser abordados de forma
-diferente.
+Em geral, quando dados de contagem apresentam excesso de zeros também
+apresentarão superdispersão. Todavia, essa dispersão pode ser
+exclusivamente devido ao excesso de zeros, e os modelos alternativos já
+apresentados não terão um bom desempenho. Uma ilustração desse fato é
+apresentada na \autoref{fig:ilustra-zeros}, em que foram simulados dados
+com excesso de zeros. A simulação foi realizada de forma hierárquica,
+simulando valores $y_z$ de uma variável aleatória Bernoulli de parâmetro
+$\pi$ e, para $y_z=0$ armazenou-se o zero e para $y_z=1$ simulou-se de
+uma distribuição Poisson de paramêtro $\lambda$. Ajustando um modelo
+COM-Poisson para as duas simulações com diferentes parâmetros $\pi$ e
+$\lambda$, observa-se que o modelo não se mostra adequado, indicando que
+os excessos de zeros devem ser abordados de forma diferente.
<<ilustra-zeros, fig.cap="Ilustração de dados de contagem com excesso de zeros.", fig.height=3, fig.width=5>>=
@@ -857,14 +819,14 @@ diferente.
set.seed(20124689)
n <- 1000
-lambda <- 2; pi <- 0.9
-y1 <- sapply(rbinom(n, 1, pi), function(x) {
- ifelse(x == 0, 0, rpois(1, lambda))
+lambda1 <- 2; pi1 <- 0.9
+y1 <- sapply(rbinom(n, 1, pi1), function(x) {
+ ifelse(x == 0, 0, rpois(1, lambda1))
})
-lambda <- 5; pi <- 0.85
-y2 <- sapply(rbinom(n, 1, pi), function(x) {
- ifelse(x == 0, 0, rpois(1, lambda))
+lambda2 <- 5; pi2 <- 0.85
+y2 <- sapply(rbinom(n, 1, pi2), function(x) {
+ ifelse(x == 0, 0, rpois(1, lambda2))
})
##-------------------------------------------
@@ -896,6 +858,11 @@ key <- list(
columns = 2,
lines = list(lty = 1, col = cols),
text = list(c("Observado", "COM-Poisson")))
+fl <- substitute(
+ expression(pi == p1~","~lambda == l1,
+ pi == p2~","~lambda == l2),
+ list(p1 = pi1, p2 = pi2, l1 = lambda1, l2 = lambda2)
+)
##-------------------------------------------
## Gráfico
@@ -905,7 +872,9 @@ xyplot(py_real ~ c(yu - 0.15) | caso, data = da,
ylab = expression(Pr(Y==y)),
ylim = ylim,
key = key,
- strip = strip.custom(factor.levels = paste("Simulação", 1:2)),
+ strip = strip.custom(
+ factor.levels = fl
+ ),
sub = "Fonte: Elaborado pelo autor.") +
as.layer(xyplot(
py_dcmp ~ c(yu + 0.15) | caso, data = da,
@@ -923,57 +892,52 @@ as duas principais abordagens são i) os modelos de mistura
\textit{Hurdle Models}. Neste trabalho somente a abordagem via modelos
condicionais será considerada. A função massa de probabilidade do modelo
Hurdle é
-
\begin{equation}
\label{eqn:pmf-hurdle}
\Pr(Y = y \mid \pi, \Theta_c) =
\begin{dcases*}
- \pi & \text{se } y = 0,\\
+ \pi &, \text{se } y = 0\,;\\
(1 - \pi) \frac{\Pr(Z = z \mid \Theta_c)}{1 - \Pr(Z = 0 \mid
- \Theta_c)} & \text{se } y = 1, 2, \dots
+ \Theta_c)} &, \text{se } y = 1, 2, \dots
\end{dcases*}
\end{equation}
-
-\noindent
em que $0<\pi<1$, representa a probabilidade de ocorrência de zeros e
$\Pr(Z = z \mid \Theta_c)$ a função massa de probabilidade de uma
variável aleatória de contagem $Z$, como a Poisson ou a Binomial
Negativa.
-Da especificação em \ref{eqn:pmf-hurdle}, os momentos média e variância
-são obtidos usando as definições $E(Y) = \sum_{y=1}^\infty y \cdot
-\Pr(Y=y)$ e $V(Y) = \sum_{y=1}^\infty y^2 \cdot \Pr(Y=y) - E^2(Y)$
+Da especificação em \ref{eqn:pmf-hurdle}, a média e a variância
+são obtidas usando as definições $E(Y) = \sum_{y=1}^\infty y \cdot
+\Pr(Y=y)$ e $V(Y) = \sum_{y=1}^\infty y^2 \cdot \Pr(Y=y) - E^2(Y)$.
$$
E(Y) = \frac{E(Z)(1-\pi)}{1-\Pr(Z = 0)} \quad \textrm{e} \quad
-V(Y) = \frac{1-\pi}{1-Pr(Z = 0)} \left [ E(Z) \frac{(1-\pi)}{1-\Pr(Z =
+V(Y) = \frac{1-\pi}{1-\Pr(Z = 0)} \left [ E(Z) \frac{(1-\pi)}{1-\Pr(Z =
0)} \right ]
$$
Para a inclusão de covariáveis, caracterizando um problema de regressão,
dado que o modelo tem dois processos modela-se ambos como se segue
-
\begin{equation}
\label{eqn:reg-hurdle}
- \log \left (\frac{\pi_i}{1-\pi_i} \right ) = G_i\gamma \qquad e \qquad
+ \log \left (\frac{\pi_i}{1-\pi_i} \right ) =
+ \underline{\textsf{z}}_i^t\gamma \qquad \textrm{e} \qquad
\begin{matrix}
Z_i \sim D(\mu_i, \phi) \\
- g(\mu_i) = X_i\beta
+ g(\mu_i) = \underline{x}_i^t\beta
\end{matrix}
\end{equation}
-
-\noindent
-com $i = 1, 2, \ldots, n$, $G_i$ e $X_i$ as covariáveis da i-ésima
-observação consideradas para explicação da contagens nulas e não nulas
-respectivamente, $D(\mu_i, \phi)$ uma distribuição de probabilidades
-considerada para as contagens não nulas que pode conter ou não um
-parâmetro $\phi$ adicional, se Poisson, $D(\mu_i, \phi)$ se resume a
-$\textrm{Poisson}(\mu_i)$ e $g(\mu_i)$ uma função de ligação, nos casos
-Poisson e Binomial Negativa considera-se $\log(\mu_i)$. O que está
-implÃcito na formulação \ref{eqn:reg-hurdle} é que para a componente que
-explica a geração de zeros está sendo considerada a distribuição
-Bernoulli de parâmetro $\pi_i$, contudo pode-se utilizar distribuições
-censuradas a direita no ponto $y=1$ para estimação desta probabilidade,
+com $i = 1, 2, \ldots, n$, $\underline{\textsf{z}}_i$ e
+$\underline{x}_i$ as covariáveis da i-ésima observação consideradas para
+explicação da contagens nulas e não nulas respectivamente, $D(\mu_i,
+\phi)$ uma distribuição de probabilidades considerada para as contagens
+não nulas que pode conter ou não um parâmetro $\phi$ adicional e
+$g(\mu_i)$ uma função de ligação. Nos casos Poisson e Binomial
+Negativa, em geral, considera-se $g(\mu_i) = \log(\mu_i)$. O que está
+implÃcito na formulação em \ref{eqn:reg-hurdle} é que para a componente
+que explica a geração de zeros está sendo considerada a distribuição
+Bernoulli de parâmetro $\pi_i$. Contudo pode-se utilizar distribuições
+censuradas à direita no ponto $y=1$ para estimação dessa probabilidade,
como explicam \citeonline{Zeileis2007}.
\section{Modelos de efeitos aleatórios}
@@ -981,7 +945,7 @@ como explicam \citeonline{Zeileis2007}.
Nas seções anteriores os modelos que flexibilizam algumas suposições do
modelo Poisson, basicamente permitindo casos não equidispersos e
-modelando conjuntamente um processo gerador de zeros extra foram
+modelando conjuntamente um processo gerador de zeros extra, foram
explorados. Contudo, uma suposição dos modelos de regressão para dados
de contagem vistos até aqui é que as variáveis aleatórias $Y_1, Y_2,
\ldots, Y_n$ são condicionalmente independentes, dado o vetor de
@@ -989,50 +953,49 @@ covariáveis. Porém não são raras as situações em que essa suposição não
se mostra adequada. \citeonline{Ribeiro2012} cita alguns exemplos:
\begin{itemize}
- \item as observações podem ser correlacionadas no espaço,
- \item as observações podem ser correlacionadas no tempo,
+ \item as observações podem ser correlacionadas no espaço;
+ \item as observações podem ser correlacionadas no tempo;
\item interações complexas podem ser necessárias para modelar o efeito
- conjunto de algumas covariáveis,
+ conjunto de algumas covariáveis;
\item heterogeneidade entre indivÃduos ou unidades podem não ser
suficientemente descrita por covariáveis.
\end{itemize}
Nessas situações pode-se estender a classe de modelos de regressão com a
adição de efeitos aleatórios que incorporam termos baseados em variáveis
-não observáveis (latentes) ao modelo, permitindo assim acomodar uma
+não observáveis (latentes) ao modelo, permitindo acomodar uma fonte de
variabilidade, que pode ser ou não estruturada, não prescrita pelo
-modelo. De forma geral a especificação dos modelos de efeitos aleatórios
-segue uma especificação hierárquica
-
+modelo. De forma geral os modelos de efeitos aleatórios seguem uma
+especificação hierárquica
\begin{equation}
\label{eqn:reg-misto}
\begin{split}
- Y_{ij} \mid b_{i},& X_{ij} \sim \textrm{D}(\mu_{ij}, \phi) \\
- g(&\mu_{ij}) = X_{ij}\beta + Z_ib_i \\
- & b \sim \textrm{K}(\Theta_b)
+ Y_{ij} \mid b_{i},\,& \underline{x}_{ij} \sim
+ \textrm{D}(\mu_{ij}, \phi) \\
+ g(&\mu_{ij}) = \underline{x}_{ij}^t\beta + \underline{z}_i^tb_i \\
+ & b_i \sim \textrm{K}(\Theta_b)
\end{split}
\end{equation}
-
-\noindent
para $i = 1, 2, \ldots, m$ (grupos com efeitos aleatórios comuns) e $j =
1, 2, \ldots, n$ (observações) com D$(\mu_{ij}, \phi)$, uma distribuição
considerada para as variáveis resposta condicionalmente independentes,
$g(\mu_{ij})$ uma função de ligação conforme definida na teoria dos
-MLG's, $X_{ij}$ e $Z_{i}$ os vetores conhecidos que representam os
-efeitos das covariáveis de interesse e os termos que definem os grupos
-considerados como aleatórios, $b_i$ uma quantidade aleatória provida de
-uma distribuição K$(\Theta_b)$. Nesses modelos uma quantidade aleatória
-é somada ao preditor linear, diferentemente dos modelos de efeitos fixos
-e a partir desta quantidade é possÃvel induzir uma estrutura de
-dependência entre as observações.
-
-Como são duas quantidades aleatórias no modelo, $Y \mid X$ e $b$, a
-verossimilhança para um modelo de efeito aleatório é dada integrando-se
-os efeitos aleatórios
+MLG's, $\underline{x}_{ij}$ e $\underline{z}_{i}$ os vetores conhecidos
+que representam os efeitos das covariáveis de interesse e os termos que
+definem os grupos considerados como aleatórios, $b_i$ uma quantidade
+aleatória provida de uma distribuição K$(\Theta_b)$. Nesses modelos um
+termo aleatório é somado ao preditor linear, diferentemente dos
+modelos de efeitos fixos, e a partir deste termo é possÃvel induzir
+uma estrutura de dependência entre as observações.
+
+Como são dois termos aleatórios no modelo, $Y_{ij}$ condicional ao vetor
+de covariáveis e $b_i$, a verossimilhança para um modelo de efeito
+aleatório é dada integrando-se os efeitos aleatórios
\begin{equation}
\label{eqn:loglik-misto}
- \Ell(\beta, \phi, \Theta_b \mid \underline{y}) = \prod_{i=1}^m \int_{\R^q}
+ \Ell(\beta, \phi, \Theta_b \mid \underline{y}, \underline{b}) =
+ \prod_{i=1}^m \int_{\R^q}
\left ( \prod_{j=1}^{n_i} f_D(y_{ij}, \mu, b_i)\right ) \cdot f_K(b
\mid \Theta_b) db_i
\end{equation}
@@ -1040,30 +1003,26 @@ os efeitos aleatórios
Na avaliação da verossimilhança é necessário o cálculo de $m$ integrais
de dimensão $q$. Para muitos casos essa integral não tem forma analÃtica
sendo necessários métodos numéricos de intergração, que são discutidos
-na seção \ref{cap03:metodos}. As estimativas de máxima verossimilhança
+na \autoref{cap03:metodos}. As estimativas de máxima verossimilhança
são
-
$$
\hat{\Theta} = (\hat{\beta}, \hat{\Theta_b}) =
\underset{(\beta,\,\Theta_b)}{\textrm{arg max }} \log(\Ell(\beta, \phi,
-\Theta_b \mid \underline{y}))
+\Theta_b \mid \underline{y}, \underline{b}))
$$
-\noindent
Em modelos de efeitos mistos é comum adotar como distribuição para os
efeitos aleatórios uma Normal $q$-variada com média 0 e matriz de
-variância e covariâncias $\Sigma$, ou seja, na especificação
-\ref{eqn:reg-misto} K$(\Theta_b) = NMV_q(0, \Sigma)$. Para estes casos
-os principais métodos de aproximação da integral tem desempenhos
-melhores \cite{Bates2015}.
+variâncias e covariâncias $\Sigma$, ou seja, na especificação
+\ref{eqn:reg-misto} K$(\Theta_b) = NMV_q(0, \Sigma)$.
Como mencionado anteriormente modelos de efeitos aleatórios são
-candidatos a modelagem de dados superdispersos. Quando não há uma
+candidatos à modelagem de dados superdispersos. Quando não há uma
estrutura de delineamento experimental ou observacional pode-se incluir
efeitos aleatórios ao nÃvel de observação (e então $m=n$, ou seja, os
-vetores $Y$ e $b$ tem mesma dimensão). Casos particulares de modelos de
-efeitos aleatórios, onde o efeito aleatório é adicionado ao nÃvel de
-observação são o modelo Binomial Negativo e o \textit{Inverse Gaussian
- Model}, em ambos os casos a integral, definida em
-\ref{eqn:loglik-misto} tem solução analÃtica e consequentemente a
-marginal em $Y$ forma fechada.
+vetores $Y$ e $\underline{b}$ tem mesma dimensão). Casos particulares de
+modelos de efeitos aleatórios, onde o efeito aleatório é adicionado ao
+nÃvel de observação são o modelo Binomial Negativo e o \textit{Inverse
+ Gaussian Model}. Em ambos os casos a integral, definida a
+\autoref{eqn:loglik-misto}, tem solução analÃtica e, consequentemente, a
+marginal em $Y$, forma fechada.
diff --git a/docs/cap03_materiais-e-metodos.Rnw b/docs/cap03_materiais-e-metodos.Rnw
index 9b49b2d225a36a9b3001a408e02f6156e6ed6a63..c6c632665c74cda35f9d2b5c1cfa9913eaf1be7e 100644
--- a/docs/cap03_materiais-e-metodos.Rnw
+++ b/docs/cap03_materiais-e-metodos.Rnw
@@ -2,14 +2,14 @@
% CAPÃTULO 3 - MATERIAIS E MÉTODOS
% ------------------------------------------------------------------------
-Essa seção é destinada a apresentação dos conjuntos de dados analisados
-no trabalho e descrição dos recursos computacionais e métodos utilizados
-na análise. Na seção \ref{cap03:materiais-dados} seis conjuntos de dados
-com diferentes caracterÃsticas são apresentados. Os recursos
-computacionais utilizados são descritos na seção
-\ref{cap03:materiais-recursos}. Na última seção desse capÃtulo,
-\ref{cap03:metodos}, são apresentados os métodos para ajuste, avaliação
-e comparação dos modelos propostos.
+Esse capÃtulo é destinado à apresentação dos conjuntos de dados
+analisados no trabalho, descrição dos recursos computacionais e métodos
+utilizados na análise. Na \autoref{cap03:materiais-dados} seis conjuntos
+de dados com diferentes caracterÃsticas são apresentados. Os recursos
+computacionais utilizados são descritos na
+\autoref{cap03:materiais-recursos}. Na última seção desse capÃtulo,
+\autoref{cap03:metodos}, são apresentados os métodos para ajuste,
+avaliação e comparação dos modelos propostos.
\section{Materias}
\label{cap03:materiais}
@@ -21,12 +21,12 @@ A seguir são apresentados os seis conjuntos de dados utilizados para
avaliar o desempenho dos modelos COM-Poisson. Os dados em estudo são,
quase em sua totalidade, resultantes de experimentos agronômicos com
delineamentos balanceados, o que é uma caracterÃstica vantajosa para
-avaliação do desempenho do modelo COM-Poisson quando empregado a análise
+avaliação do desempenho do modelo COM-Poisson quando empregado à análise
desses dados.
A apresentação dos conjuntos segue a ordem de 1) descrição do
experimento ou estudo em destaque, 2) definição das variáveis e suas
-unidades de medidas e 3) descrição de suas caracterÃsticas,
+unidades de medidas e 3) descrição das caracterÃsticas dos dados,
potencialmente contempladas por modelos alternativos ao Poisson.
\subsubsection{Capulhos de algodão sob efeito de desfolha artificial}
@@ -42,30 +42,31 @@ niveis.est <- paste(unique(cottonBolls$est), collapse = ", ")
@
-Experimento conduzido sob delineamento inteiramente casualizado com
-cinco repetições em casa de vegetação com plantas de algodão
-\emph{Gossypium hirsutum} submetidas a diferentes nÃveis de desfolha
-artificial de remoção foliar (\Sexpr{niveis.des}), em combinação com o
-estágio fenológico no qual a desfolha foi aplicada
-(\Sexpr{niveis.est}). A unidade experimental foi um vaso com duas
-plantas onde avaliou-se o número de capulhos produzidos ao final da
-ciclo cultura \cite{Silva2012}. O experimento contou com
-\Sexpr{nrow(cottonBolls)} observações das quais têm-se as informações
-das variáveis número de capulhos de algodão produzidos (\texttt{ncap}),
-nÃvel de desfolha de remoção foliar (\texttt{des}) e estágio fenológico
-das planta na unidade experimental (\texttt{est}).
-
-Esse conjunto de dados já fora publicado sob a motivação da
+Experimento com plantas de algodão \emph{Gossypium hirsutum} submetidas
+à diferentes nÃveis de desfolha artificial de remoção foliar, (0, 25,
+50, 75 e 100\%), em combinação com o estágio fenológico no qual a
+desfolha foi aplicada, (vegetativo, botão floral, florescimento, maça e
+capulho). Esse experimento foi conduzido sob delineamento interamente
+casualizado com cinco repetições, em casa de vegetação. A unidade
+experimental foi um vaso com duas plantas, onde avaliou-se o número de
+capulhos produzidos ao final da ciclo cultura \cite{Silva2012}. O
+experimento contou com \Sexpr{nrow(cottonBolls)} observações das quais
+têm-se as informações das variáveis número de capulhos de algodão
+produzidos (\texttt{ncap}), nÃvel de desfolha de remoção foliar
+(\texttt{des}) e estágio fenológico das plantas na unidade experimental
+(\texttt{est}).
+
+Esse conjunto de dados já fora analisado e publicado sob a motivação da
caracterÃstica de subdispersão, utilizando o modelo \textit{Gamma-Count}
-\cite{Zeviani2014}. Na figura \ref{fig:descr-cottonBolls}, são
-apresentados os dados do experimento. À esquerda apresenta-se a
-disposição das cinco observações em cada tratamento (combinação de nÃvel
-de desfolha e estágio fenológico do algodão) e à direita um gráfico
-descritivo cruzando médias e variâncias amostrais calculadas em cada
-tratamento, onde a linha pontilhada representa a caracterÃstica de
-equidispersão, média igual a variância. Em todos os tratamentos
-obteve-se a média menor que a variância apontando evidência de
-subdispersão.
+\cite{Zeviani2014}. Na \autoref{fig:descr-cottonBolls}, são apresentados
+os dados do experimento. À esquerda apresenta-se a disposição das cinco
+observações em cada tratamento (combinação de nÃvel de desfolha e
+estágio fenológico do algodão) e à direita um gráfico descritivo
+cruzando médias e variâncias amostrais calculadas em cada tratamento,
+onde a linha pontilhada representa a caracterÃstica de equidispersão,
+média igual a variância, e a contÃnua a reta de um ajuste de regressão
+linear simples. Em todos os tratamentos obteve-se a média menor que a
+variância apontando evidência de subdispersão.
<<descr-cottonBolls, fig.height=4.2, fig.width=7, fig.cap="Número de capulhos produzidos para cada nÃvel de desfolha e estágio fenológico (esquerda) e médias e variâncias das cinco repetições em cada combinação de nÃvel de desfolha e estágio fenológico (direita).">>=
@@ -124,15 +125,15 @@ Experimento conduzido na Universidade Federal da Grande Dourados (UFGD)
em 2007, cujo objetivo foi avaliar os impactos da exposição de plantas Ã
alta infestação de Mosca-branca \emph{Bemisia tabaci} em componentes de
produção do algodão \cite{Martelli2008}. No experimento, plantas de
-algodão foram expostas à alta infestação da praga por diferentes
-perÃodos, \Sexpr{niveis.dexp} onde avaliou-se o número de capulhos
+algodão foram expostas a alta infestação da praga por diferentes
+perÃodos, 0, 1, 2, 3, 4, e 5 dias. Avaliou-se o número de capulhos
produzidos (\texttt{ncapu}), o número de estruturas reprodutivas
(\texttt{nerep}) e o número de nós (\texttt{nnos}), como variáveis de
interesse que representam a produtividade do cultivo de algodão. A
condução do estudo deu-se via delineamento inteiramente casualizado com
cinco vasos contendo duas plantas, para cada perÃodo de exposição.
-<<descr-cottonBolls2, fig.height=3.5, fig.width=7, fig.cap="Disposição das variáveis de contagem nº de estruturas reprodutivas, nº de capulhos produzidos e nº de nós da planta observadas sob diferentes dias de exposição à infestação de Mosca-branca.">>=
+<<descr-cottonBolls2, fig.height=3.5, fig.width=7.2, fig.cap="Disposição das variáveis de contagem nº de estruturas reprodutivas, nº de capulhos produzidos e nº de nós da planta observadas sob diferentes dias de exposição à infestação de Mosca-branca.">>=
vars <- c("dexp", "vaso", "planta", "nerep", "ncapu", "nnos")
cottonBolls2 <- cottonBolls2[, vars]
@@ -141,6 +142,7 @@ da <- reshape2::melt(cottonBolls2, id = c("dexp", "vaso", "planta"),
variable.name = "va", value.name = "count")
## da <- aggregate(count ~ vaso + dexp + va, data = da, FUN = sum)
+da$va <- relevel(da$va, "ncapu")
xyplot(count ~ dexp | va, data = da,
type = c("p", "g", "smooth"),
layout = c(NA, 1),
@@ -152,8 +154,8 @@ xyplot(count ~ dexp | va, data = da,
column = 2, title = "Planta", cex.title = 1,
lines = TRUE),
strip = strip.custom(
- factor.levels = c("Estruturas reprodutivas ",
- "Capulhos produzidos",
+ factor.levels = c("Capulhos produzidos ",
+ "Estruturas reprodutivas",
"Nós da planta")
),
spread = 0.15,
@@ -164,22 +166,34 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Na figura \ref{fig:descr-cottonBolls2} a disposição de cada uma das
-variáveis aleatórias de contagem número de estruturas reprodutivas,
-número de capulhos produzidos e número de nós da planta para os
-diferentes perÃodos em que as plantas estiveram sob alta infestação de
-Mosca-branca é apresentada. Para todas as contagens parece haver um
-comportamento subdisperso. A indicação de subdispersão também se observa
-na tabela \ref{tab:mv-cottonBolls2}, onde as médias e variâncias
-amostrais calculadas com as dez observações nos seis perÃodos de
-exposição à infestação de Mosca-branca são exibidas. Em todos os casos
-observa-se as variâncias amostrais substancialmente menores que
-respectivas médias, ainda a manifestação de subdispersão é mais
-expressiva na variável número de nós da planta. Portanto, nesse
-experimento modelos alternativos ao Poisson devem ser empregados, pois a
-suposição de equidispersão é violada.
-
-<<mv-cottonBolls2, include=FALSE>>=
+Na \autoref{fig:descr-cottonBolls2} a disposição de cada uma das
+variáveis aleatórias de contagem, \texttt{ncapu}, \texttt{nerep} e
+\texttt{nnos}, para os diferentes perÃodos em que as plantas estiveram
+sob alta infestação de Mosca-branca é apresentada. Para todas as
+variáveis parece haver um comportamento subdisperso, são observadas
+muitas contagens sobrepostas e dispostas em um intervalo pequeno de
+valores. A indicação de subdispersão também se observa na
+\autoref{tab:mv-cottonBolls2}, em que as médias e variâncias amostrais,
+calculadas com as dez observações nos seis perÃodos de exposição Ã
+infestação de Mosca-branca, são exibidas. Em todos os casos observa-se
+as variâncias amostrais substancialmente menores que respectivas médias,
+ainda a manifestação de subdispersão é mais expressiva na variável
+número de nós da planta. Portanto, nesse experimento modelos
+alternativos ao Poisson devem ser empregados, pois a suposição de
+equidispersão é violada.
+
+\begin{table}[ht]
+\centering
+\caption{Médias e variâncias amostras das contagens avaliadas no
+ experimento de capulhos de algodão sob efeito de Mosca-Branca}
+\label{tab:mv-cottonBolls2}
+\begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash} p{2cm}*{6}{c}}
+ \toprule
+ \multirow{2}{\linewidth}{Dias de Exposição} & \multicolumn{2}{c}{N. Capulhos} & \multicolumn{2}{c}{N. Estruturas} & \multicolumn{2}{c}{N. Nós} \\
+ \cmidrule(lr){2-3} \cmidrule(lr){4-5} \cmidrule(lr){6-7}
+ & média & variância & média & variância & média & variância \\
+ \midrule
+<<mv-cottonBolls2, results="asis">>=
##-------------------------------------------
## Calcula as médias e variâncias
@@ -190,31 +204,15 @@ mvr <- mvr[order(mvr$va, mvr$dexp), ]
## Organiza lado a lado para apresenta em formato de tabela
mv <- mvr[, -(1:2)]
-mv <- cbind(mvr[1:6, 1], mv[1:6, ], mv[7:12, ], mv[13:18, ])
+mv <- cbind(mvr[1:6, 1], mv[7:12, ], mv[1:6, ], mv[13:18, ])
-## ## Formata o resultado no ambiente latex e não R (esperamos que eu não
-## ## tenha feita nada errada, pois esse procedimento não é reproduzivel)
-## xtable(mv)
+## Resultados em formato de tabela Latex
+print(xtable(mv),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
@
-
-\begin{table}[ht]
-\centering
-\caption{Médias e variâncias amostras das contagens avaliadas no
- experimento de capulhos de algodão sob efeito de Mosca-Branca}
-\label{tab:mv-cottonBolls2}
-\begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash} p{2cm}*{6}{c}}
- \toprule
- \multirow{2}{\linewidth}{Dias de Exposição} & \multicolumn{2}{c}{N. Estruturas} & \multicolumn{2}{c}{N. Capulhos} & \multicolumn{2}{c}{N. Nós} \\
- \cmidrule(lr){2-3} \cmidrule(lr){4-5} \cmidrule(lr){6-7}
- & média & variância & média & variância & média & variância \\
- \midrule
- 0 & 4,50 & 0,50 & 4,40 & 0,93 & 13,60 & 2,27 \\
- 1 & 4,20 & 1,29 & 3,90 & 1,43 & 16,30 & 0,90 \\
- 2 & 3,90 & 1,21 & 3,40 & 1,60 & 16,10 & 4,54 \\
- 3 & 3,50 & 1,17 & 3,40 & 1,16 & 15,40 & 3,38 \\
- 4 & 3,80 & 1,07 & 3,70 & 1,34 & 15,80 & 2,62 \\
- 5 & 3,80 & 1,07 & 3,80 & 1,07 & 15,70 & 2,68 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
@@ -239,20 +237,21 @@ niveis.K <- paste0(
niveis.umid <- paste0(
paste(unique(soyaBeans$umid),
- collapse = ", "), " \\% do volume total dos poros")
+ collapse = ", "), "\\% do volume total dos poros")
@
-Experimento fatorial 5 $\times$ 3 que estudou diferentes nÃveis de
-adubação potássica aplicada ao solo, \Sexpr{niveis.K} e diferentes
-nÃveis de umidade do solo, \Sexpr{niveis.umid}, que representam pouca
-água, água em quantidade ideal e água em abundância, nos componentes de
-produção da soja \cite{Serafim2012}. O experimento foi instalado em casa
-de vegetação no delineamento de blocos casualizados completos e a
-unidade experimental foi um vaso com duas plantas de soja. No
-experimento foram medidas várias variáveis respostas (que representam a
-produtividade), sendo que o número de vagens viáveis por vaso e o número
-de grãos por vaso foram as variáveis de contagem.
+Nesse experimento estudou-se os componentes de produção da soja com
+relação à diferentes nÃveis de adubação potássica aplicada ao solo (0,
+30, 60, 120 e 180 mg dm$^{-3}$) e diferentes nÃveis de umidade do solo
+(37.5, 50, 62.5\%, que representam pouca água, água em quantidade ideal
+e água em abundância respectivamente), caracterizando um experimento
+fatorial 5 $\times$ 3 \cite{Serafim2012}. O experimento foi instalado em
+casa de vegetação no delineamento de blocos casualizados completos e a
+unidade experimental foi um vaso com duas plantas de soja. Foram medidas
+várias variáveis respostas (que representam a produtividade), sendo que
+o número de vagens viáveis por vaso e o número de grãos por vaso foram
+as variáveis de contagem.
<<descr-soyaBeans, fig.height=4, fig.width=7, fig.cap="Disposição das variáveis número de grãos e número de vagens nos diferentes nÃveis de adubação potássica e umidade do solo.">>=
@@ -280,17 +279,19 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Na figura \ref{fig:descr-soyaBeans} é apresentada a dispersão das
-contagens nas combinações das covariáveis umidade do solo e adubação
-potássica. As duas variáveis de contagem avaliadas no experimento
-apresentam nÃveis de dispersão distintos, essa caracterÃstica fica
-explÃcita na figura \ref{fig:mv-soyaBeans}, em que é exibida a dispersão
-entre médias e variâncias amostrais para cada uma das variáveis. Para o
-número de grãos por parcela, com contagens mais elevadas, as variâncias
-amostrais são, quase em sua totalidade, superiores as médias
+Na \autoref{fig:descr-soyaBeans} é apresentada a dispersão das contagens
+nas combinações das covariáveis umidade do solo e adubação potássica. As
+duas variáveis de contagem avaliadas no experimento apresentam nÃveis de
+dispersão distintos. Essa caracterÃstica fica explÃcita na
+\autoref{fig:mv-soyaBeans}, em que são exibidas as dispersões entre
+médias e variâncias amostrais para cada uma das variáveis, com a linha
+pontilhada representando a igualdade entre média e variância
+(equidispersão) e a contÃnua um ajuste de regressão linear simples. Para
+o número de grãos por parcela, com contagens mais elevadas, as
+variâncias amostrais são, quase em sua totalidade, superiores às médias,
caracterizando uma evidência de superdispersão. Já para o número de
-vagens por parcela as médias e variâncias são, em média, próximas, o que
-indica que a suposição de equidispersão é razoável.
+vagens por parcela, as médias e variâncias são próximas, o que indica
+que a suposição de equidispersão é razoável.
<<mv-soyaBeans, fig.height=3.5, fig.width=7, fig.cap="Médias e variâncias amostrais das contagens de grão e vagens, avaliadas no experimento com soja sob efeito umidade e adubação potássica.">>=
@@ -373,19 +374,21 @@ niveis.data <- paste0(format(unique(whiteFly$data), "%d/%m/%y"),
Nesse experimento também envolvendo a cultura de soja e a praga
Mosca-branca, foram avaliadas plantas de quatro diferentes cultivares de
-soja, \Sexpr{niveis.cult}, contabilizando o número de ninfas de
-mosca-branca nos folÃolos dos terços superior, médio e inferior das
-plantas em seis datas, \Sexpr{niveis.data} dentre os 38 dias de estudo
-. O experimento foi conduzido em casa de vegetação sob o delineamento de
+soja (BRS 245 RR, BRS 243 RR, BRS 246 RR e BRS 239), contabilizando o
+número de ninfas de mosca-branca nos folÃolos dos terços superior, médio
+e inferior das plantas em seis datas (11/12/09, 19/12/09, 24/12/09,
+02/01/10, 11/01/10 e 18/01/10) dentre os 38 dias de estudo. O
+experimento foi conduzido em casa de vegetação sob o delineamento de
blocos casualizados para controle de variação local \cite{Suekane2011}.
As contagens da praga para cada cultivar em cada uma das datas de
avaliação, representadas pelos dias decorridos após a primeira
-avaliação, em 11/12/09 são mostradas na figura \ref{fig:descr-ninfas} a
-esquerda. As contagens são muito altas e dispersas, principalmente nas
-quatro primeiras avaliações. A direita uma descrição no nÃvel de
-dispersão da variável de contagem é apresentada. Esse é um conjunto de
-dados extremamente superdisperso. Os pontos, que representam as médias e
+avaliação, em 11/12/09, são apresentadas à esquerda na
+\autoref{fig:descr-ninfas}. As contagens são muito elevadas e dispersas,
+principalmente nas quatro primeiras avaliações. À direita da
+\autoref{fig:descr-ninfas} uma descrição do nÃvel de dispersão da
+variável de contagem é apresentada. Esse é um conjunto de dados
+extremamente superdisperso. Os pontos, que representam as médias e
variâncias em cada combinação de cultivares de soja e dias após a
primeira avaliação, estão todos acima da reta identidade (de
equidispersão) com variâncias em torno de 1.000 vezes maiores que as
@@ -430,7 +433,7 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor")
@
-\subsubsection{Peixes Capturados por Pescadores em um Parque Estadual}
+\subsubsection{Peixes Capturados por Visitantes em um Parque Estadual}
\label{sec:fish}
<<data-fish, include=FALSE, echo=FALSE>>=
@@ -442,11 +445,11 @@ data(fish, package = "cmpreg")
Diferentemente dos demais, esse é um estudo observacional feito por
biólogos com interesse em modelar o número de peixes capturados por
grupos de pescadores visitantes em um Parque Estadual \cite{UCLA}. Nesse
-estudo tem-se como informações a respeito dos grupos de visitantes, o
+estudo tem-se como informações referentes ao grupo de visitantes, o
número de pessoas e de crianças e se há ou não a presença de
-campista. Um fato interessante deste dado é que nem todos os grupos de
-visitantes praticaram pescaria, portanto, nesses grupos o número de
-peixes capturado será zero.
+campista. Um fato interessante nesse estudo é que nem todos os grupos de
+visitantes praticaram pescaria, portanto, para esses grupos o número de
+peixes capturados será zero.
<<descr-fish, fig.height=3.5, fig.width=7.2, fig.cap="LogarÃtmo neperiano do número de peixes capturados acrescido de 0,5 para as diferentes composições dos grupos (esquerda). Histograma do número de peixes capturados por grupo (direita).">>=
@@ -485,17 +488,18 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Na figura \ref{fig:descr-fish} é evidente o excesso de contagens
-zero. No gráfico à esquerda tem-se a disposição das contagens,
-transformadas por $\log(y_i|x_i + 0,5)$. É caracterÃstica marcante no
-gráfico a grande quantidade de pontos dispostos no primeiro valor do
-eixo $y$, \Sexpr{log(0.5)} = $\log(0.5)$. Embora seja um gráfico
-marginal, não considerando as covariáveis de cada contagem, a direita um
-histograma da variável resposta é realizado e percebe-se novamente a
-grande quantidade de valores nulos, ao todo \Sexpr{with(fish,
- sum(npeixes == 0)/length(npeixes))*100}\% dos dados são contagens
-nulas. Portanto nesse problema, claramente modelos alternativos que
-acomodem excesso de zeros se fazem necessários.
+Nos gráficos apresentados na \autoref{fig:descr-fish} é evidente o
+excesso de contagens zero. No gráfico à esquerda tem-se a disposição das
+contagens, transformadas por $\log(y_i + 0,5)$. É caracterÃstica
+marcante no gráfico a grande quantidade de pontos dispostos no primeiro
+valor do eixo $y$, \Sexpr{log(0.5)} = $\log(0.5)$. À direita da
+\autoref{fig:descr-fish} um histograma da variável resposta é
+apresentado e, embora seja uma representação da distribuição marginal do
+número de peixes capturados (não considera as covariáveis de cada
+contagem), percebe-se novamente a grande quantidade de valores nulos, ao
+todo \Sexpr{with(fish, sum(npeixes == 0)/length(npeixes))*100}\% dos
+dados são contagens nulas. Portanto, nesse problema, modelos
+alternativos que acomodem excesso de zeros se fazem necessários.
\subsubsection{Número de nematoides em raizes de feijoeiro}
\label{sec:nematodes}
@@ -513,20 +517,21 @@ key <- list(
## corner = c(0.1, 0.9),
type = "b", divide = 1,
lines = list(pch = c(NA, 15), lty = c(2, 0), col = cols),
- text = list(c("Média de nematoides por linhagem",
- "Média de nematoides")))
+ text = list(c("Média do nº de nematoides",
+ "Média do nº de nematoides por linhagem")))
-xyplot(nema ~ cult, data = nematodes,
- type = c("p", "g"),
+xyplot(nema/off ~ cult, data = nematodes,
+ type = c("p"),
key = key,
xlab = "Linhagem de feijoeiro",
ylab = "Contagem de nematoides",
panel = function(x, y, ...) {
+ panel.grid()
means <- aggregate(y, list(x), mean)
- panel.xyplot(x, y, ...)
panel.abline(h = mean(y), lty = 2, col = cols[1])
panel.points(x = means[, 1], y = means[, 2],
- pch = 15, col = cols[2])
+ pch = 15, col = cols[2], cex = 1.1)
+ panel.xyplot(x, y, ...)
},
par.settings = ps.sub)
@@ -535,26 +540,26 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Esse último conjunto de dados explorado no trabalho, é resultado de um
-experimento em casa de vegetação que estudou a reprodução de nematoides
-em cultivares de feijoeiro. No experimento, o solo de vasos com duas
-plantas de feijão foi inicialmente contaminado com nematoides e as
-raizes das duas plantas por vaso foram, ao final do experimento,
-lavadas, trituradas, peneiradas e diluÃdas e, a partir de alÃquotas
-dessa solução, contou-se o número de nematoides. Como denominador da
-contagem tem-se a razão entre a massa fresca de raizes (em gramas) por
-parcela e o volume de água (em milÃmetros) utilizado para diluir essa
-quantidade \footnote{Cedido para fins acadêmicos por Andressa Cristina
- Zamboni Machado, pesquisadora do Instituto Agronômico do Paraná
- (IAPAR), e pelo técnico agrÃcola do IAPAR Santino Aleandro da Silva}.
+Esse último conjunto de dados explorado no trabalho é resultado de um
+experimento em casa de vegetação cujo intersse foi a reprodução de
+nematoides em linhagens de feijoeiro. No experimento, o solo de vasos
+com duas plantas de feijão foi inicialmente contaminado com nematoides e
+as raizes das plantas por vaso foram, ao final do experimento, lavadas,
+trituradas, peneiradas e diluÃdas e, a partir de alÃquotas dessa
+solução, contou-se o número de nematoides. Como denominador da contagem
+tem-se a razão entre a massa fresca de raizes (em gramas) por parcela e
+o volume de água (em milÃmetros) utilizado para diluir essa quantidade
+\footnote{Cedido para fins acadêmicos por Andressa Cristina Zamboni
+ Machado, pesquisadora do Instituto Agronômico do Paraná (IAPAR), e
+ pelo técnico agrÃcola do IAPAR, Santino Aleandro da Silva}.
-Na figura \ref{fig:descr-nematodes} a dispersão das contagens de
-nematoides em aliquotas da solução de uma grama de massa fresca de raiz
+Na \autoref{fig:descr-nematodes} a dispersão das contagens de
+nematoides em alÃquotas da solução de uma grama de massa fresca de raiz
por um milÃmetro de água para cada linhagem é exibida. As contagens para
cada uma das linhagens se distribuem em torno do perfil médio (linha
pontilhada). Um detalhe interesse desse conjunto de dados é que o efeito
-das linhagens pode ser considerado aleatório em certas fazes do programa
+das linhagens pode ser considerado aleatório em certas fases do programa
de melhoramento genético. Portanto, pode-se interpretar as linhagens
escolhidas como um sorteio aleatório dentre uma população de linhagens
de feijoeiro. Assim, modelos com efeitos aleatórios a nÃvel de linhagem
@@ -565,25 +570,23 @@ por meio de uma distribuição de probabilidades.
\label{cap03:materiais-recursos}
O \textit{software} R, versão \Sexpr{with(R.version, paste0(major, ".",
- minor))}, é utilizado tanto para a preparação e apresentação dos dados
-quanto para ajuste dos modelos e apresentação de resultados. Pacotes
-auxiliares utilizados no trabalho são: \texttt{MASS}
+ minor))}, foi utilizado tanto para a preparação e apresentação dos
+dados quanto para ajuste dos modelos e apresentação de
+resultados. Pacotes auxiliares utilizados no trabalho são: \texttt{MASS}
(\Sexpr{packageVersion("MASS")}) para ajuste e inferências dos modelos
-Binomial Negativo, \texttt{bbmle} (versão
-\Sexpr{packageVersion("bbmle")}) para estimação via máxima
-verossimilhança das funções implementadas para o modelo COM-Poisson ,
-\texttt{pscl} (\Sexpr{packageVersion("pscl")}) para ajuste dos
-modelos Poisson e Binomial Negativo com componente de barreira para
-modelagem de excesso de zeros e \texttt{lme4} (versão
+Binomial Negativo, \texttt{bbmle} (\Sexpr{packageVersion("bbmle")}) para
+estimação via máxima verossimilhança das funções implementadas para o
+modelo COM-Poisson , \texttt{pscl} (\Sexpr{packageVersion("pscl")}) para
+ajuste dos modelos Poisson e Binomial Negativo com componente de
+barreira para modelagem de excesso de zeros e \texttt{lme4} (versão
\Sexpr{packageVersion("lme4")}) para ajuste dos modelos Poisson com
efeitos aleatórios normais. Para apresentação gráfica dos resultados os
pacotes \texttt{lattice} (\Sexpr{packageVersion("lattice")}),
\texttt{latticeExtra} (\Sexpr{packageVersion("latticeExtra")}) e
\texttt{corrplot} (\Sexpr{packageVersion("corrplot")}) são
exaustivamente utilizados. Finalmente, para elaboração do relatório,
-mesclando códigos em R e escrita na linguagem de marcação \LaTeX{}, o
-pacote \texttt{knitr} (\Sexpr{packageVersion("knitr")}) é
-requerido.
+mesclando códigos em R e escrita na linguagem de marcação \LaTeX{},
+utilizou-se o pacote \texttt{knitr} (\Sexpr{packageVersion("knitr")}).
Destaca-se nesse trabalho que todas as funções implementadas para ajuste
e inferência dos modelos de regressão COM-Poisson estão disponÃveis, em
@@ -597,107 +600,96 @@ dados exibido no trabalho é ilustrado com códigos R.
A estimação dos parâmetros do modelo de regressão COM-Poisson de efeitos
fixos é realizada maximizando uma forma reparametrizada da
-log-verossimilhança, definida na expressão \ref{eqn:loglik-compoisson},
-via algoritmo numérico de otimização \textit{BFGS}. O parâmetro extra da
-COM-Poisson, $\nu$ tem suporte nos reais positivos, restringindo o
-espaço paramétrico de busca do otimizador, o que é numericamente
-indesejável. Para deixar o domÃnio de busca nos reais reparametrou-se o
-modelo com o parâmetro $\phi = \log(\nu)$, como $0 < \nu < \infty$ então
-$-\infty < \phi < \infty$. Sob a reparametrização a função a ser
-maximizada é
-
+log-verossimilhança, definida na \autoref{eqn:loglik-compoisson}, via
+algoritmo numérico de otimização \textit{BFGS} \cite{Nocedal1995}. O
+parâmetro extra da COM-Poisson ($\nu$) tem suporte nos reais positivos,
+restringindo o espaço paramétrico de busca do otimizador, o que é
+numericamente indesejável. Para deixar o domÃnio de busca nos reais
+reparametrizou-se o modelo com $\phi = \log(\nu)$. Como $0 < \nu <
+\infty$, então $-\infty < \phi < \infty$. Sob a reparametrização a função
+a ser maximizada é dada por
\begin{equation}
\label{loglik-compoissonr}
- \ell(\phi, \beta \mid \underline{y}) = \sum_i^n y_i \log(\lambda_i) -
- e^\phi \sum_i^n \log(y!) - \sum_i^n \log(Z(\lambda_i, \phi))
+ \ell(\phi,\, \beta \mid \underline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i
+ \log(\lambda_i) - e^\phi \sum_{i=1}^n \log(y!) - \sum_{i=1}^n
+ \log(Z(\lambda_i, \phi))
\end{equation}
-
-\noindent
-em que $\lambda_i = e^{X_i\beta}$, com $X_i$ o vetor $(x_{i1}, x_{i2},
-\ldots x_{ip})$ de covariáveis da i-ésima observação, e $(\beta, \phi)
-\in \R^{p+1}$.
-
-O ajuste do modelo é realizado sob $\phi$. Portanto as inferências
-decorrentes são sobre esse parâmetro. Todavia pode-se retornar para
-parametrização original utilizando a função inversa em valores pontuais
-ou método delta para funções de $\phi$. Nesse trabalho as inferências
-são realizadas sob o parâmetro $\phi$. Para esse parâmetro as
-interpretações são como se segue
-
+em que $\lambda_i = e^{\underline{x}_i^t\beta}$, com $\underline{x}_i$ o
+vetor $(x_{i1}, x_{i2}, \ldots x_{ip})$ de covariáveis da i-ésima
+observação, e $(\beta, \phi) \in \R^{p+1}$.
+
+O ajuste do modelo é realizado sob $\phi$.
+
+As inferências com relação à dispersão, decorrentes do modelo
+reparametrizado, são sobre o parâmetro $\phi$. Todavia pode-se retornar
+para parametrização original utilizando a função inversa em valores
+pontuais ou método delta para funções de $\phi$. Nesse trabalho as
+inferências são realizadas sob o parâmetro $\phi$. Para esse parâmetro
+as interpretações são como se segue
$$
-\phi < 0 \Rightarrow \textrm{Superdispersão} \quad
-\phi = 0 \Rightarrow \textrm{Equidispersão} \quad
+\phi < 0 \Rightarrow \textrm{Superdispersão}; \quad
+\phi = 0 \Rightarrow \textrm{Equidispersão}; \textrm{ e} \quad
\phi > 0 \Rightarrow \textrm{Subdispersão}
$$
-
-\noindent
-ou seja, possui a interpretação de um parâmetro de precisão.
+ou seja, $\phi$ possui a interpretação de um parâmetro de precisão.
A partir dessa reparametrização a condução de testes de hipóteses é
-facilitada. Uma vez que $\phi = 0$, representa o caso particular em que
+facilitada. Uma vez que $\phi = 0$ representa o caso particular em que
a COM-Poisson se reduz a Poisson, a estatÃstica
-
\begin{equation*}
- TRV = 2 \cdot \left ( \ell_{CMP} - \ell_{P} \right ) \sim \rchi^2_{1}
+ TRV = 2 \left ( \ell_{CMP} - \ell_{P} \right ) \sim \rchi^2_{1}
\end{equation*}
-
-\noindent
sendo $\ell_{CMP}$ e $\ell_{P}$ as log-verossimilhanças maximizadas dos
modelos COM-Poisson e Poisson com mesmo preditor linear respectivamente,
-se refere ao teste de razão de verossimilhanças para $H_0: \phi = 0$, ou
-de forma mais apelativa, ao teste sobre a equivalência dos modelos
-COM-Poisson e Poisson.
+se refere ao teste de razão de verossimilhanças para $H_0: \phi = 0$,
+equivalência dos modelos COM-Poisson e Poisson.
-A partir da definição em \ref{eqn:pmf-hurdle}, para incluir um
+A partir da \autoref{eqn:pmf-hurdle}, para incluir um
componente de barreira no modelo COM-Poisson, acomodando excesso de
-zeros, adota-se para $\Pr(Z = z \mid \Theta_c)$ a distribuição
-COM-Poisson (\ref{eqn:pmf-compoisson}) resultando em
-
+zeros, adota-se, para $\Pr(Z = z \mid \Theta_c)$, a distribuição
+COM-Poisson (\autoref{eqn:pmf-compoisson}), resultando em
\begin{equation}
\label{eqn:pmf-hurdlecmp}
\Pr(Y = y \mid \pi, \phi, \lambda) =
\begin{dcases*}
- \pi & \text{se } y = 0,\\
+ \pi &, \text{se } y = 0\,;\\
(1 - \pi) \frac{\lambda^y}{(y!)^{e^\phi}Z(\lambda,
- \phi)}\left (1 - \frac{1}{Z(\lambda, \phi)} \right )^{-1} &
+ \phi)}\left (1 - \frac{1}{Z(\lambda, \phi)} \right )^{-1} &,
\text{se } y = 1, 2, \dots
\end{dcases*}
\end{equation}
-
Para modelos de regressão com componente de barreira, são incorporados
preditores lineares em $\pi$,
-$\underline{\pi}=\frac{\exp(G\gamma)}{1+\exp(G\gamma)}$ e $\lambda$,
+$\underline{\pi}=\frac{\exp(Z\gamma)}{1+\exp(Z\gamma)}$ e $\lambda$,
$\underline{\lambda}=\exp(X\beta)$ e a verossimilhança desse modelo toma
a forma
-
\begin{equation}
\label{eqn:loglik-hurdlecmp}
\Ell(\phi, \beta, \gamma \mid \underline{y}) =
- \ind [\underline{\pi}] \cdot (1-\ind) \left [
- (1-\underline{\pi})\left (
- \frac{\underline{\lambda}^y}{(y!)^{e^\phi}
- Z(\underline{\lambda}, \phi)}
- \right ) \left (
- 1-\frac{1}{Z(\underline{\lambda}, \phi)}
- \right ) \right ]
+ \prod_{i \in \Omega_0} \left [ \pi_i \right ]
+ \prod_{i \in \Omega_+} \left [
+ (1-\pi_i) \left (
+ \frac{\lambda_i^{y_i}}{(y_i!)^{e^\phi}
+ Z(\lambda_i, \phi)}
+ \right ) \left ( 1-\frac{1}{Z(\lambda_i, \phi)} \right )
+ \right ]
\end{equation}
-
-\noindent
-em que $\ind$ é uma função indicadora para $y = 0$. Os argumentos
+sendo $\Omega_0 = \{i \mid y_i = 0\}$ o conjunto de observações que
+apresentam contagens 0 e $\Omega_+ = \{i \mid y_i > 0\}$ o conjunto de
+observações que apresentam contagens não nulas. Os argumentos
$\hat{\phi}$, $\hat{\beta}$ e $\hat{\gamma}$, que maximizam o logaritmo
-neperiano da função \ref{eqn:loglik-hurdlecmp} serão as estimativas de
+neperiano da \autoref{eqn:loglik-hurdlecmp} serão as estimativas de
máxima verossimilhança do modelo COM-Poisson com componente de barreira.
Uma outra extensão proposta para o modelo COM-Poisson é a inclusão de
efeitos aleatórios a fim de modelar a estrutura experimental ou
-observacional de um conjunto de dados. Este trabalho restringe-se a
-inclusão de efeitos aleatórios Normais, ou seja, $b \sim
+observacional de um conjunto de dados. Neste trabalho restringe-se Ã
+inclusão de efeitos aleatórios Normais, ou seja, $b_j \sim
\textrm{Normal}(0, \Sigma)$, que são incorporados sob a forma
$\underline{\lambda} = X\beta + Z b$ conforme especificação em
\ref{eqn:reg-misto}. Assim, considerando a distribuição COM-Poisson para
-a variável resposta condicionada as covariáveis e os efeitos aleatórios,
+a variável resposta condicionada às covariáveis e aos efeitos aleatórios,
a verossimilhança pode ser escrita como
-
\begin{equation}
\label{eqn:loglik-mixedcmp}
\Ell(\phi, \Sigma, \beta \mid \underline{y}) =
@@ -709,30 +701,27 @@ a verossimilhança pode ser escrita como
-\frac{1}{2}b^t \Sigma^{-1} b
\right ) db_i
\end{equation}
-
-\noindent
sendo $m$ o número de grupos que compartilham do mesmo efeito aleatório,
$q$ o número de efeitos aleatórios (intercepto aleatório, inclinação e
intercepto aleatórios, etc.) e $n_i$ o número de observações no i-ésimo
-grupo. A integração em \ref{eqn:loglik-mixedcmp}, necessária para a
-avaliação da verossimilhança não tem forma analÃtica. Utiliza-se a
+grupo. A integração na \autoref{eqn:loglik-mixedcmp}, necessária para a
+avaliação da verossimilhança, não tem forma analÃtica. Utiliza-se a
aproximação de Laplace da forma como apresentada em
\citeonline[pág. 141]{RibeiroJr2012} para aproximação dessa integral. A
-estimação dos parâmetros é realizada via maximização da $\log(\Ell(\phi,
-\Sigma, \beta \mid \underline{y}))$ com métodos numéricos de
-otimização. Ressalta-se que esse é um procedimento computacionalmente
-intensivo, pois a cada iteração do algoritmo de maximização, $m$
-aproximações de Laplace para integrais de dimensão $q$ são
-realizadas. Ainda, quando considerada a distribuição COM-Poisson para a
-variável resposta condicionalmente independente, tem-se também o cálculo
-de $n_m$ constantes normalizadoras $Z(\lambda, \phi)$
-(\ref{eqn:constante-z}) para cada $m$ grupo em cada iteração do
-algoritmo de otimização. Com toda essa estrutura hierárquica,
-procedimentos computacionais realizados a cada estágio são
+estimação dos parâmetros é realizada via maximização da
+log-verossimilhança, com métodos numéricos de otimização. Ressalta-se
+que esse é um procedimento computacionalmente intensivo, pois a cada
+iteração do algoritmo de maximização, $m$ aproximações de Laplace para
+integrais de dimensão $q$ são realizadas. Ainda, quando considerada a
+distribuição COM-Poisson para a variável resposta condicionalmente
+independente, tem-se também o cálculo de $n_m$ constantes normalizadoras
+$Z(\lambda, \phi)$ (\autoref{eqn:constante-z}) para cada um dos $m$ grupos
+em cada iteração do algoritmo de otimização. Com toda essa estrutura
+hierárquica, procedimentos computacionais realizados a cada estágio são
potencialmente instáveis numericamente.
Para comparação entre os modelos COM-Poisson e demais modelos
-listados no capÃtulo \ref{cap:modelos-para-dados-de-contagem} utiliza-se
+listados no \autoref{cap:modelos-para-dados-de-contagem} utiliza-se
essencialmente o valor maximizado da log-verossimilhança e o critério
de informação de Akaike (AIC) definido como
@@ -743,16 +732,16 @@ de informação de Akaike (AIC) definido como
\noindent
sendo $k$ o número de parâmetros e $\ell(\Theta_k, \underline{y})$ a
-log\-verossimilhança maximizada do modelo definido pelo conjunto
-$\Theta_k$ de parâmetros. Nas análises compara-se também, os nÃveis
-descritivos nos testes de razão de verossimilhanças entre modelos
+log-verossimilhança maximizada do modelo definido pelo conjunto
+$\Theta_k$ de parâmetros. Nas análises compara-se também os nÃveis
+descritivos dos testes de razão de verossimilhanças entre modelos
encaixados. Nos modelos de regressão de efeitos fixos os valores
preditos pelos modelos COM-Poisson e demais alternativas pertinentes são
exibidos graficamente com bandas de confiança.
-Para maximização numérica das log\-verossimilhanças dos modelos de
-regressão COM-Poisson e suas extensões utiliza-se um método de
-otimização quasi-Newton bastante popular, denominado \textit{BFGS}
-\cite{Nocedal1995}. As informações do vetor gradiente (derivadas de
-primeira e matriz hessiana (derivadas de segunda ordem) são obtidos
-numericamente via aproximação de diferenças finitas.
+Para maximização numérica das log-verossimilhanças dos modelos de
+regressão COM-Poisson e suas extensões utiliza-se o método de otimização
+quasi-Newton, denominado \textit{BFGS}. O vetor gradiente (derivadas de
+primeira ordem) e matriz hessiana (derivadas de segunda ordem) são
+obtidos numericamente via aproximação de diferenças finitas
+\cite{Nocedal1995}.
diff --git a/docs/cap04_resultados-e-discussao.Rnw b/docs/cap04_resultados-e-discussao.Rnw
index 7e9bcc834faec20496b049ab3ab76c1b20b19e99..152d68d1df243f47551831b9cb2364b071f0e233 100644
--- a/docs/cap04_resultados-e-discussao.Rnw
+++ b/docs/cap04_resultados-e-discussao.Rnw
@@ -2,14 +2,14 @@
% CAPÃTULO 4 - RESULTADOS E DISCUSSÃO
% ------------------------------------------------------------------------
-Nesse capÃtulo são apresentados os resultados e discussões da aplicação
-modelos de regressão COM-Poisson ajustados aos dados apresentados na
-seção \ref{cap03:materiais-dados} comparando-as com abordagens já
-utilizadas na EstatÃstica aplicada. As primeiras seis seções são
-destinadas a apresentação das análises estatÃsticas de cada conjunto de
-dados citado. Na seção \ref{cap04:discussao} discussões gerais sobre os
-resultados dos modelos COM-Poisson empregados nas análises são
-realizadas.
+Neste capÃtulo são apresentados os resultados e discussões da aplicação
+dos modelos de regressão COM-Poisson ajustados aos dados apresentados na
+\autoref{cap03:materiais-dados}. Os resultados são comparados com
+abordagens já utilizadas na EstatÃstica aplicada. As primeiras seis
+seções são destinadas à apresentação das análises estatÃsticas de cada
+conjunto de dados citado. Na \autoref{cap04:discussao} discussões
+gerais sobre os resultados dos modelos COM-Poisson empregados nas
+análises são realizadas.
\section{Análise de dados de capulhos de algodão sob efeito de desfolha}
\label{sec:analise-cottonBolls}
@@ -54,11 +54,12 @@ prof.cottonBolls <- profile(m5C, which = "phi")
@
-Diante da estrutura do experimento apresentada na seção
-\ref{sec:cottonBolls} foram propostos, por \citeonline{Zeviani2014},
+Diante da estrutura do experimento apresentada na
+\autoref{sec:cottonBolls} foram propostos, por \citeonline{Zeviani2014},
cinco preditores crescentes em complexidade que testam aspectos
-interesses sobre os fatores experimentais. Abaixo os cinco
-preditores considerados são descritos.
+interesses sobre os fatores experimentais. Abaixo os cinco preditores
+considerados são descritos, sendo \texttt{def} a covariável que
+representa o nÃvel de desfolha artificial (0, 25, 50, 75 e 100\%).
\noindent
Preditor 1: $g(\mu) = \beta_0$ \\
@@ -73,27 +74,27 @@ Preditor 5: $g(\mu) = \beta_0 + \beta_{1j} \textrm{def} + \beta_{2j}
\noindent
onde $j$ varia nos nÃveis de estágio fenológico da planta (1:
vegetativo, 2: botão floral, 3: florescimento, 4: maça, 5: capulho) e
-$g(\mu)$ uma função de ligação. A proposta desses preditores foi
-realizada de forma aninhada a fim de facilitar a condução de testes de
-hipóteses. O modelo 1 contêm somente o intercepto, e é ajustado apenas
-como ponto de partida para verificar como modelos mais estruturados
-melhoram o ajuste. O modelo 2 apresenta apenas o efeito de desfolha de
-forma linear, o modelo 3 é o modelo 2 somado um efeito de segunda
-ordem. O modelo 4, apresenta o efeito de desfolha linear mudando de
-acordo com o estágio de crescimento (interação entre o efeito linear de
-desfolha e estágio), e por fim o modelo 5 não somente o efeito de
-primeira ordem muda com o estágio de crescimento, mais também o efeito
+$g(\mu)$ a função de ligação considerada no modelo. A proposta desses
+preditores foi realizada de forma aninhada a fim de facilitar a condução
+de testes de hipóteses. O modelo 1 contêm somente o intercepto, e é
+ajustado apenas como ponto de partida para verificar como modelos mais
+estruturados melhoram o ajuste. O modelo 2 apresenta apenas o efeito de
+desfolha de forma linear. O modelo 3 é o modelo 2 somado um efeito de
+segunda ordem. O modelo 4, apresenta o efeito de desfolha linear mudando
+de acordo com o estágio de crescimento (interação entre o efeito linear
+de desfolha e estágio). E por fim, no modelo 5 não somente o efeito de
+primeira ordem muda com o estágio de crescimento, mas também o efeito
de segunda ordem (interação entre o efeito de primeira e segunda ordem
de desfolha e estágio).
-A seguir são ajustados os modelos Poisson e COM-Poisson como
-alternativas paramétricas à análise de dados e como alternativa
-semi-paramétrica a estimação via quasi-verossimilhança Poisson. Na
-tabela \ref{tab:ajuste-cottonBolls} os resultados dos três modelos
-ajustados aos cinco preditores são apresentados. O modelo COM-Poisson
-apresentou melhor ajuste dentre todos os preditores considerados quando
-comparado ao Poisson, indicado pelas maiores log-verossimilhanças e
-menores AIC's.
+Na sequência da análise, foram ajustados os modelos Poisson e
+COM-Poisson como alternativas paramétricas à análise de dados e, como
+alternativa semi-paramétrica, a estimação via quasi-verossimilhança
+Poisson. Na \autoref{tab:ajuste-cottonBolls} os resultados dos três
+modelos ajustados aos cinco preditores são apresentados. O modelo
+COM-Poisson apresentou melhor ajuste dentre todos os preditores
+considerados quando comparado ao Poisson, indicado pelas maiores
+log-verossimilhanças e menores AIC's.
<<loglik-cottonBolls, include=FALSE>>=
@@ -118,10 +119,9 @@ tab.ajuste <- rbind(tabP, tabC, tabQ)
rownames(tab.ajuste) <- NULL
tab.ajuste <- data.frame(etas, tab.ajuste)
-## ##----------------------------------------------------------------------
-## ## Copiar e colar o corpo do resultado na customização latex abaixo
-## digits <- c(1, 0, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 3, -2)
-## xtable(tab.ajuste, digits = digits)
+## Para notação cientÃfica nas tabelas Latex
+digits <- c(1, 0, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 3, -2)
+
@
\begin{table}[ht]
@@ -134,31 +134,45 @@ tab.ajuste <- data.frame(etas, tab.ajuste)
\toprule
Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & & \\
\midrule
- Preditor 1 & 1 & -279,93 & 561,87 & & & & & \\
- Preditor 2 & 2 & -272,00 & 548,00 & 15,86 & 1 & 6,81E-05 & & \\
- Preditor 3 & 3 & -271,35 & 548,71 & 1,29 & 1 & 2,56E-01 & & \\
- Preditor 4 & 7 & -258,67 & 531,35 & 25,36 & 4 & 4,26E-05 & & \\
- Preditor 5 & 11 & -255,80 & 533,61 & 5,74 & 4 & 2,19E-01 & & \\[0.3cm]
- COM-Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ & P($>\rchi^2$) \\
+<<tab-cottonBolls1, results="asis">>=
+
+## Resultados em formato de tabela Latex
+print(xtable(tab.ajuste[1:5, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
+ COM-Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ & P($>\rchi^2$) \\
\midrule
- Preditor 1 & 2 & -272,48 & 548,96 & & & & 0,551 & 1,13E-04 \\
- Preditor 2 & 3 & -257,46 & 520,93 & 30,03 & 1 & 4,25E-08 & 0,794 & 6,97E-08 \\
- Preditor 3 & 4 & -256,09 & 520,18 & 2,75 & 1 & 9,73E-02 & 0,816 & 3,29E-08 \\
- Preditor 4 & 8 & -220,20 & 456,40 & 71,78 & 4 & 9,54E-15 & 1,392 & 1,75E-18 \\
- Preditor 5 & 12 & -208,25 & 440,50 & 23,90 & 4 & 8,38E-05 & 1,585 & 1,80E-22 \\[0.3cm]
+<<tab-cottonBolls2, results="asis">>=
+
+## Resultados em formato de tabela Latex
+print(xtable(tab.ajuste[6:10, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
Quase-Poisson & np & deviance & AIC & F & diff np & P($>F$) & $\hat{\sigma}^2$ & P($>\rchi^2$) \\
\midrule
- Preditor 1 & 1 & 75,51 & & & & & 0,567 & 3,66E-04 \\
- Preditor 2 & 2 & 59,65 & & 34,21 & 1 & 4,17E-08 & 0,464 & 5,13E-07 \\
- Preditor 3 & 3 & 58,36 & & 2,81 & 1 & 9,62E-02 & 0,460 & 3,66E-07 \\
- Preditor 4 & 7 & 33,00 & & 22,77 & 4 & 5,89E-14 & 0,278 & 9,15E-16 \\
- Preditor 5 & 11 & 27,25 & & 5,96 & 4 & 2,18E-04 & 0,241 & 3,57E-18 \\
+<<tab-cottonBolls3, results="asis">>=
+
+## Resultados em formato de tabela Latex
+print(xtable(tab.ajuste[11:15, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
\footnotesize
-\item np, número de parâmetros, diff $\ell$, diferença entre
- log-verossimilhanças, F, estatÃstica F baseada nas quasi-deviances,
+\item np, número de parâmetros; diff $\ell$, diferença entre
+ log-verossimilhanças; F, estatÃstica F baseada nas quasi-deviances;
diff np, diferença entre o np. \\[0.1cm]
\item Fonte: Elaborado pelo autor.
\end{tablenotes}
@@ -166,56 +180,20 @@ tab.ajuste <- data.frame(etas, tab.ajuste)
As estimativas dos parâmetros extras $\phi$ e $\sigma^2$ dos modelos
COM-Poisson e Quasi-Poisson respectivamente, também são apresentadas na
-tabela \ref{tab:ajuste-cottonBolls} e indicam subdispersão ($\phi>0$ e
-$\sigma^2<1$). Note que, mesmo não considerando covariáveis, preditor 1,
-a hipótese de equidispersão foi rejeitada pelo modelos COM-Poisson e
+\autoref{tab:ajuste-cottonBolls} e indicam subdispersão ($\phi>0$ e
+$\sigma^2<1$). Note que, mesmo não considerando covariáveis (preditor 1)
+a hipótese de equidispersão foi rejeitada pelos modelos COM-Poisson e
Quasi-Poisson. Isso se reflete nos nÃveis descritivos dos testes de
razão de verossimilhanças realizados, em que o modelo Poisson, em
discordância com os demais, não indicou significância do efeito
-quadrático por nÃvel de desfolha, preditor 5, pois superestima a
-variabilidade do processo. Esses resultados estão de acordos com os
-apresentados por \citeonline{Zeviani2014}, onde um modelo
-\textit{Gamma-Count} foi ajustado, destaca-se a similaridade entre as
+quadrático do nÃvel de desfolha por estágio fenológico (preditor 5),
+pois superestima a variabilidade do processo. Esses resultados estão de
+acordos com os apresentados por \citeonline{Zeviani2014}, onde um modelo
+\textit{Gamma-Count} foi ajustado. Destaca-se a similaridade entre as
medidas de ajuste dos modelos COM-Poisson e \textit{Gamma-Count}. Os
valores das log-verossimilhanças maximizadas nos dois modelos difere
somente nas casas decimais, para todos os preditores.
-<<prof-cottonBolls, fig.height=4, fig.width=4.5, out.width="0.6\\linewidth", fig.cap="Perfil de log-verossimilhança para o parâmetro extra da COM-Poisson, estimado no modelo com o quinto preditor.">>=
-
-myprof(prof.cottonBolls, namestrip = expression("Perfil para"~phi),
- par.settings = ps.sub)
-fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
-
-@
-
-Na figura \ref{fig:prof-cottonBolls} a avaliação do parâmetro $\phi$ do
-modelo COM-Poisson com efeito de desfolha artificial de primeira e
-segunda ordem para cada estágio fenológico, via verossimilhança
-perfilhada é apresentada. O valor zero, que representa a não necessidade
-de um modelo COM-Poisson está dentro dos limites de confiança de 90, 95
-e até 99\%. A simetria do perfil de verossimilhança também é algo para
-se destacar, pois neste caso intervalos do tipo Wald (computacionalmente
-mais fáceis), via aproximação quadrática da verossimilhança, podem ser
-construÃdos, muito embora os construÃdos via perfil de
-log-verossimilhança sejam preferÃveis. Em concordância com a figura, o
-teste de hipóteses via razão de verossimilhanças para $H_0: \phi = 0$,
-rejeitou a hipótese nula com um nÃvel de significância muito próximo a
-zero, tabela \ref{tab:ajuste-cottonBolls}.
-
-<<coef-cottonBolls, include=FALSE>>=
-
-pnames <- c("phi", "beta0", paste0("beta1", 1:5),
- paste0("beta2", 1:5))
-
-## Tabela com os coeficientes
-tab.coef <- coeftab(m5P, m5Q, m5C,
- rownames = paste0("$++", pnames, "$"))
-
-## ## Código latex para tabela com os coeficientes
-## print.xtable(xtable(tab.coef), include.rownames = TRUE)
-
-@
-
\begin{table}[ht]
\centering
\caption{Estimativas dos parâmetros e razões entre as estimativa e erro
@@ -227,18 +205,24 @@ tab.coef <- coeftab(m5P, m5Q, m5C,
\cmidrule(lr){2-3} \cmidrule(lr){4-5} \cmidrule(lr){6-7}
Parâmetro & Estimativa & Est/EP & Estimativa & Est/EP & Estimativa & Est/EP \\
\midrule
- $\sigma^2,\,\phi$ & -- & -- & 0,24 & -- & 1,58 & 12,42 \\
- $\beta_{0}$ & 2,19 & 34,57 & 2,19 & 70,42 & 10,90 & 7,76 \\
- $\beta_{11}$ & 0,44 & 0,85 & 0,44 & 1,73 & 2,02 & 1,77 \\
- $\beta_{12}$ & 0,29 & 0,57 & 0,29 & 1,16 & 1,34 & 1,21 \\
- $\beta_{13}$ & -1,24 & -2,06 & -1,24 & -4,19 & -5,75 & -3,89 \\
- $\beta_{14}$ & 0,36 & 0,64 & 0,36 & 1,31 & 1,60 & 1,30 \\
- $\beta_{15}$ & 0,01 & 0,02 & 0,01 & 0,04 & 0,04 & 0,03 \\
- $\beta_{21}$ & -0,81 & -1,38 & -0,81 & -2,81 & -3,72 & -2,78 \\
- $\beta_{22}$ & -0,49 & -0,86 & -0,49 & -1,75 & -2,26 & -1,80 \\
- $\beta_{23}$ & 0,67 & 0,99 & 0,67 & 2,01 & 3,13 & 2,08 \\
- $\beta_{24}$ & -1,31 & -1,95 & -1,31 & -3,97 & -5,89 & -3,66 \\
- $\beta_{25}$ & -0,02 & -0,04 & -0,02 & -0,07 & -0,09 & -0,08 \\
+<<coef-cottonBolls, results="asis">>=
+
+pnames <- c("\\sigma^2,\\,\\phi ", "\\beta_0",
+ paste0("\\beta_{1", 1:5, "}"),
+ paste0("\\beta_{2", 1:5, "}"))
+
+## Tabela com os coeficientes
+tab.coef <- coeftab(m5P, m5Q, m5C,
+ rownames = paste0("$", pnames, "$"))
+
+print.xtable(xtable(tab.coef),
+ include.rownames = TRUE,
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
+
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
@@ -247,20 +231,27 @@ tab.coef <- coeftab(m5P, m5Q, m5C,
\end{tablenotes}
\end{table}
-As estimativas dos efeitos lineares e quadráticos de desfolha
-artificial, conforme notação do preditor 5, são apresentadas na tabela
-\ref{tab:coef-cottonBolls} para os modelos Poisson, Quasi-Poisson e
-COM-Poisson. Para os modelos Poisson e Quasi-Poisson as estimativas são
-idênticas, por construção \ref{cap02:poisson}, o que difere são as
-magnitudes dessas estimativas em comparação com seu erro padrão, que no
-caso Quasi-Poisson é corrigido pelo parâmetro $\sigma^2$. Considerando o
-modelo COM-Poisson as estimativas são notavelmente diferentes, pois o
-preditor linear é construÃdo em $\lambda$, da expressão
-\ref{eqn:pmf-compoisson}, e este parâmetro não descreve, diretamente, a
-média da distribuição. Sendo assim as estimativas do COM-Poisson não
-podem ser comparadas com as demais estimativas. Contudo, a magnitude
-desses efeitos com relação ao efeito padrão sim. E neste caso os modelos
-Quasi-Poisson e COM-Poisson levam as mesmas conclusões.
+<<prof-cottonBolls, fig.height=3.5, fig.width=4, out.width="0.6\\linewidth", fig.cap="Perfil de log-verossimilhança para o parâmetro extra da COM-Poisson, estimado no modelo com o efeito quadrático do nÃvel de desfolha por cada estágio fenológico.">>=
+
+myprof(prof.cottonBolls, namestrip = expression("Perfil para"~phi),
+ par.settings = ps.sub)
+fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
+
+@
+
+Na \autoref{fig:prof-cottonBolls} a avaliação do parâmetro $\phi$ do
+modelo COM-Poisson com efeito de desfolha artificial de primeira e
+segunda ordem para cada estágio fenológico, via verossimilhança
+perfilhada, é apresentada. O valor zero, que representa a não
+necessidade de um modelo COM-Poisson, não está dentro dos limites de
+confiança de 99, 95 e até 90\%. A simetria do perfil de verossimilhança
+também é algo para se destacar, pois neste caso intervalos do tipo Wald
+(computacionalmente mais fáceis), via aproximação quadrática da
+verossimilhança, podem ser construÃdos, muito embora os construÃdos via
+perfil de log-verossimilhança sejam preferÃveis. Em concordância com a
+figura, o teste de hipóteses via razão de verossimilhanças para $H_0:
+\phi = 0$ (última coluna da \autoref{tab:ajuste-cottonBolls}), rejeitou
+a hipótese nula com um nÃvel de significância muito próximo a zero.
<<corr-cottonBolls, fig.width=7, fig.height=7, fig.cap="Imagem da matriz de correlação entre os parâmetros do modelo COM-Poisson.">>=
@@ -275,26 +266,38 @@ fonte("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-As covariâncias entre as estimativas dos parâmetros do modelo
-COM-Poisson são apresentadas, na escala da correlação, na figura
-\ref{fig:corr-cottonBolls}. Destaca-se nessa figura a forte correlação
-do parâmetro de precisão $\phi$ com os $\beta$'s da regressão. Embora
-seja uma representação empÃrica, observada a esse particular conjunto de
-dados, nota-se a não ortogonalidade na matriz de informação observada, o
-que implica que inferências sobre os $\beta$'s são condicionais a
-$\phi$. Esse comportamento dos modelos COM-Poisson é recorrente, como
-será visto nos demais conjuntos de dados.
+As estimativas dos efeitos lineares e quadráticos de desfolha
+artificial, conforme notação do preditor 5, são apresentadas na
+\autoref{tab:coef-cottonBolls} para os modelos Poisson, Quasi-Poisson e
+COM-Poisson. Para os modelos Poisson e Quasi-Poisson as estimativas são
+idênticas, por construção (veja \autoref{cap02:poisson}), o que difere
+são as magnitudes dessas estimativas em comparação com seu erro padrão,
+que no caso Quasi-Poisson é corrigido pelo parâmetro
+$\sigma^2$. Considerando o modelo COM-Poisson as estimativas são
+notavelmente diferentes, pois o preditor linear é construÃdo em
+$\lambda$, da \autoref{eqn:pmf-compoisson}, e esse parâmetro não
+descreve, diretamente, a média da distribuição. Sendo assim as
+estimativas do COM-Poisson não podem ser comparadas com as demais
+estimativas. Contudo a magnitude desses efeitos, com relação ao seu erro
+padrão, sim. E nesse caso, os modelos Quasi-Poisson e COM-Poisson levam
+as mesmas conclusões.
+
+Devido ao modelo COM-Poisson não ser construÃdo diretamente para a
+média, as estimativas dos parâmetros não refletem efeitos
+multiplicativos, como ocorre nos casos Poisson e Quasi-Poisson. Com
+isso, a interpretação dos efeitos nesse modelo é somente com relação ao
+sinal da estimativa, quando positivo indica um aumento na média da
+variável de interesse, e quando negativo uma diminuição.
-Essa caracterÃstica de não ortogonalidade da matriz de informação
-observada teve de ser levada em consideração para cálculo dos valores
-preditos, uma vez que a informação sobre a incerteza das estimativas
-contida na matriz de variâncias e covariâncias não pôde ser
-marginalizada para os $\beta$'s, que efetivamente são utilizados para
-cálculo de $\hat{\lambda}_i$ e consequentemente $\hat{\mu}_i$. Portanto,
-para cálculo dos valores preditos utiliza-se a matriz de variâncias e
-covariâncias condicionada a $\phi$, conforme \citeonline[teorema 3.6,
-pág. 123]{Ferreira2011}. Essa é uma prática tomada também para cálculo
-dos valores preditos nos demais conjunto de dados.
+As covariâncias entre as estimativas dos parâmetros do modelo
+COM-Poisson são apresentadas, na escala da correlação, na
+\autoref{fig:corr-cottonBolls}. Destaca-se nessa figura a forte
+correlação do parâmetro de precisão $\phi$ com os $\beta$'s da
+regressão. Embora seja uma representação empÃrica, observada a esse
+particular conjunto de dados, nota-se a não ortogonalidade na matriz de
+informação observada, o que implica que inferências sobre os $\beta$'s
+são condicionais a $\phi$. Esse comportamento dos modelos COM-Poisson é
+recorrente, como será visto nos demais conjuntos de dados.
<<pred-cottonBolls, fig.height=3.4, fig.width=6.7, fig.cap="Curva dos valores preditos com intervalo de confiança de (95\\%) como função do nÃvel de desfolha e do estágio fenológico da planta.">>=
@@ -368,14 +371,30 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
+Essa caracterÃstica de não ortogonalidade da matriz de informação
+observada teve de ser levada em consideração para cálculo dos valores
+preditos, uma vez que a informação sobre a incerteza das estimativas
+contida na matriz de variâncias e covariâncias não pôde ser
+marginalizada para os $\beta$'s, que efetivamente são utilizados para
+cálculo de $\hat{\lambda}_i$ e consequentemente $\hat{\mu}_i$. Portanto,
+no cálculo dos valores preditos utiliza-se a matriz de variâncias e
+covariâncias condicional a $\hat{\phi}$, conforme teorema 3.6
+\citeonline[pág. 123]{Ferreira2011}. Para computação dos intervalos de
+confiança utiliza-se o método delta \cite{Ribeiro2012}. A utilização da
+matriz de variâncias e covariâncias condicional e o método delta para
+computação dos valores preditos, são práticas tomadas também na análise
+dos demais conjuntos de dados.
+
As médias com intervalos de confiança calculadas com os modelos
-COM-Poisson e Quasi-Poisson são praticamente idênticas, conforme pode
-ser visto na figura \ref{fig:pred-cottonBolls}. Contudo, destaca-se que
-o modelo COM-Poisson é totalmente paramétrico permitindo representar uma
+COM-Poisson e Quasi-Poisson são idênticas, conforme pode ser visto na
+\autoref{fig:pred-cottonBolls}. Isso se deve ao fato da relação média e
+variância ser aproximada de forma satisfatória por $\frac{1}{\nu}E(Y)$
+nos casos de subdispersão, no modelo COM-Poisson (vide
+\autoref{fig:mv-compoisson}). Contudo, destaca-se que o modelo
+COM-Poisson é totalmente paramétrico permitindo representar uma
distribuição, calculando probabilidades, o que não é possÃvel com a
-formulação Quasi-Poisson. Ainda nota-se claramente que o modelo Poisson
-é inadequado a esse conjunto de dados e que inferências a partir deste
-seriam incorretas.
+formulação Quasi-Poisson. Como visto o modelo Poisson é inadequado a
+esse conjunto de dados e inferências a partir deste são incorretas.
\section{Análise de dados de capulhos de algodão sob efeito de Mosca-Branca}
\label{sec:analise-cottonBolls2}
@@ -448,8 +467,8 @@ prof.nnos <- profile(m3C.nnos, which = "phi")
Nesse conjunto de dados também há indÃcios de subdispersão para as
três variáveis de interesse mensuradas no estudo, conforme apresentado
-na seção \ref{sec:cottonBolls2}. Para cada contagem procedeu-se com o
-ajuste dos modelos Poisson, Quasi-Poisson e COM-Poisson adotando os
+na \autoref{sec:cottonBolls2}. Para cada contagem procedeu-se com o
+ajuste dos modelos Poisson, Quasi-Poisson e COM-Poisson com os
preditores:
\noindent
@@ -501,8 +520,7 @@ phis <- cmptest(m3C.ncapu, m2C.nerep, m3C.nnos)
## ##----------------------------------------------------------------------
## ## Copiar e colar o corpo do resultado na customização latex abaixo
-## digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, -2, 2, 2, -2, 2, -2)
-## print(xtable(tab.ajuste, digits = digits))
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 4)
@
@@ -525,19 +543,36 @@ linear e quadrático dos dias de exposição, respectivamente.
\midrule
\multicolumn{10}{l}{{\bfseries \footnotesize Número de capulhos produzidos}} \\[0.0cm]
\cline{1-5} \\[-0.2cm]
- & 1 & -105,27 & 212,55 & & -92,05 & 188,09 & & 20,80 & \\
- & 2 & -105,03 & 214,05 & 4,83E-01 & -91,31 & 188,62 & 2,25E-01 & 20,31 & 2,23E-01 \\
- & 3 & -104,44 & 214,88 & 2,78E-01 & -89,47 & 186,95 & 5,52E-02 & 19,13 & 6,16E-02 \\[0.2cm]
+<<tab-conttonBolls21, results="asis">>=
+
+print(xtable(tab.ajuste[1:3, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+ \specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
\multicolumn{10}{l}{{\bfseries \footnotesize Número de estruturas reprodutivas}} \\[0.0cm]
\cline{1-5} \\[-0.2cm]
- & 1 & -104,74 & 211,49 & & -86,41 & 176,82 & & 16,23 & \\
- & 2 & -104,27 & 212,54 & 3,32E-01 & -84,59 & 175,18 & 5,66E-02 & 15,29 & 6,19E-02 \\
- & 3 & -104,06 & 214,12 & 5,16E-01 & -83,73 & 175,47 & 1,90E-01 & 14,87 & 2,07E-01 \\[0.2cm]
+<<tab-conttonBolls22, results="asis">>=
+
+print(xtable(tab.ajuste[4:6, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+ \specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
\multicolumn{10}{l}{{\bfseries \footnotesize Número de nós da planta}} \\[0.0cm]
\cline{1-5} \\[-0.2cm]
- & 1 & -143,79 & 289,59 & & -120,58 & 245,16 & & 12,69 & \\
- & 2 & -143,48 & 290,95 & 4,25E-01 & -119,03 & 244,06 & 7,87E-02 & 12,05 & 7,39E-02 \\
- & 3 & -142,95 & 291,89 & 3,04E-01 & -116,27 & 240,54 & 1,88E-02 & 11,00 & 2,23E-02 \\
+<<tab-conttonBolls23, results="asis">>=
+
+print(xtable(tab.ajuste[7:9, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
@@ -547,33 +582,32 @@ linear e quadrático dos dias de exposição, respectivamente.
\end{tablenotes}
\end{table}
-Na tabela \ref{tab:ajuste-cottonBolls2} são exibidas as medidas de
-ajuste dos modelos para as três variáveis resposta. Em todos os casos o
-modelo COM-Poisson apresentou maiores log-verossimilhanças indicando um
-melhor ajuste, quando comparado ao Poisson, também indicado pelos os
-valores de AIC que ponderam a log-verossimilhança pelo número de
-parâmetros considerados no modelo. Para questões inferenciais novamente,
-há um desacordo entre os modelos paramétricos. Pelos modelos Poisson
-não há evidências para manutenção de nenhum efeito da variável número
-de dias sob infestação, em todos os casos, ao passo que no modelo
-COM-Poisson tem-se evidências do efeito quadrático quando considerado o
-modelo para o número de nós da planta (nÃvel descritivo de
-\Sexpr{1-anC.nnos[3,6]}) e o número de capulhos produzidos (nÃvel
-descritivo de \Sexpr{1-anC.ncapu[3,6]}, na borda da região de
-significância, mas com uma diminuição do AIC em favor do efeito
-quadrático). Quando modelado o número de estruturas reprodutivas o
-modelo COM-Poisson também não indicou efeito quadrático, contudo o
-efeito linear de \texttt{dexp} pode ser discutido uma vez que a
-significância do TRV foi de \Sexpr{anC.ncapu[3,6]} e o AIC apresentou um
-pequeno aumento com relação ao modelo nulo. Considera-se nas demais
-inferências os preditores com efeitos linear, para o número de
-estruturas reprodutivas e quadrático, para o número de capulhos
-produzidos e número de nós da planta.
-
-A especificação do modelo via Quasi-Verossimilhança Poisson obteve
+Na \autoref{tab:ajuste-cottonBolls2} são exibidas as medidas de ajuste
+dos modelos para as três variáveis resposta. Em todos os casos o modelo
+COM-Poisson apresentou maiores log-verossimilhanças indicando um melhor
+ajuste, quando comparado ao Poisson, também indicado pelos valores de
+AIC que ponderam a log-verossimilhança pelo número de parâmetros
+considerados no modelo. Para questões inferenciais, novamente, há um
+desacordo entre os modelos paramétricos. Pelo modelo Poisson não há
+evidências para manutenção de nenhum efeito da variável número de dias
+sob infestação, em todos os casos, ao passo que no modelo COM-Poisson
+tem-se evidências do efeito quadrático quando considerado o modelo para
+o número de nós da planta (nÃvel descritivo de \Sexpr{anC.nnos[3,6]}) e
+o número de capulhos produzidos (nÃvel descritivo de
+\Sexpr{anC.ncapu[3,6]}, na borda da região de significância, mas com uma
+diminuição do AIC em favor do efeito quadrático). Quando modelado o
+número de estruturas reprodutivas, o modelo COM-Poisson também não
+indicou efeito quadrático, contudo o efeito linear de \texttt{dexp} pode
+ser discutido uma vez que a significância do TRV foi de
+\Sexpr{anC.ncapu[3,6]} e o AIC apresentou um pequeno aumento com relação
+ao modelo nulo. Considera-se nas demais inferências os preditores com
+efeito linear, para o número de estruturas reprodutivas e quadrático,
+para o número de capulhos produzidos e número de nós da planta.
+
+Na estimação dos parâmetros via quasi-Verossimilhança Poisson obteve-se
nÃveis descritivos mais conservadores para a rejeição da hipótese nula
-que o modelo COM-Poisson. Contudo, para escolha de preditores as mesmas
-tendências apontadas pelo COM-Poisson foram seguidas.
+que no modelo COM-Poisson. Contudo, para escolha de preditores os
+resultados se mostram equivalentes.
<<prof-cottonBolls2, fig.height=3, fig.width=7, fig.cap="Perfis de log-verossimilhança para o parâmetro extra da COM-Poisson nos modelos para número de capulhos produzidos (esquerda), número de estruturas reprodutivas (central) e número de nós (direira).">>=
@@ -634,22 +668,22 @@ xyplot(abs(z) ~ focal | param, data = da,
@
Para avaliação do parâmetro $\phi$ da COM-Poisson nos três modelos
-considerados, intervalos de confiança construÃdos sob
-perfilhamento da verossimilhança são exibidos na figura
-\ref{fig:prof-cottonBolls2}. Para nenhum dos modelos o valor de $\phi =
-0$ esteve dentro dos limites de confiança de 90, 95 e 99\%. Os valores
-estimados dos parâmetros nos modelos para número de capulhos, número de
-estruturas reprodutivas e número de nós da planta foram de \Sexpr{phis[,
- 1]} respectivamente, indicando subdispersão em todos os casos.
-
-Na figura \ref{fig:corr-cottonBolls2} são representadas as matrizes de
+considerados, intervalos de confiança construÃdos sob perfilhamento da
+verossimilhança são exibidos na \autoref{fig:prof-cottonBolls2}. Nenhum
+dos intervalos, de 99, 95 e 90\% de confiança, compreende o valor zero
+para $\phi$. Os valores estimados dos parâmetros nos modelos para número
+de capulhos, número de estruturas reprodutivas e número de nós da planta
+foram de \Sexpr{phis[, 1]} respectivamente, indicando subdispersão em
+todos os casos.
+
+Na \autoref{fig:corr-cottonBolls2} são representadas as matrizes de
covariâncias (via correlações) entre as estimativas dos modelos para
-número de capulhos, à esquerda, número de estruturas reprodutivas, ao
-centro e número de nós da plantas, à direita. A forte correlação entre o
-parâmetro de precisão $\phi$ e $\beta_0$ (principalmente) também foi
+número de capulhos (à esquerda), número de estruturas reprodutivas (ao
+centro) e número de nós da plantas (à direita). A forte correlação entre
+o parâmetro de precisão $\phi$ e $\beta_0$ (principalmente) também foi
observada no ajuste do modelo para esses conjuntos de dados.
-<<corr-cottonBolls2, fig.height=1.7, fig.width=5, out.width="1\\linewidth", fig.cap="Imagem da matriz de correlação entre os parâmetros do modelo COM-Poisson. (Esquerda) Modelo para o número de capulhos por parcela, (centro) para o número de estruturas reprodutivas e (direita) para o número de nós por parcela.">>=
+<<corr-cottonBolls2, fig.height=1.7, fig.width=5, out.width="1\\linewidth", fig.cap="Imagem da matriz de correlação entre os parâmetros do modelo COM-Poisson. (esquerda) Modelo para o número de capulhos por parcela, (centro) para o número de estruturas reprodutivas e (direita) para o número de nós por parcela.">>=
pnames <- c("phi", "beta0", "beta1", "beta2")
@@ -667,9 +701,12 @@ Corr.nerep <- cov2cor(Vcov)
dimnames(Corr.nerep) <- list(pnames, pnames)
par(mfrow = c(1, 3))
-mycorrplot(Corr.ncapu, mar = c(1.5, 0, 0, 0))
-mycorrplot(Corr.nerep, mar = c(1.5, 0, 0, 0))
-mycorrplot(Corr.nnos, mar = c(1.5, 0, 0, 0))
+mycorrplot(Corr.ncapu, mar = c(2.5, 0, 0, 0))
+mtext(text = "Capulhos produzidos", side = 1, cex = 0.7, adj = 0.65)
+mycorrplot(Corr.nerep, mar = c(2.5, 0, 0, 0))
+mtext(text = "Estruturas reprodutivas", side = 1, cex = 0.7, adj = 0.75)
+mycorrplot(Corr.nnos, mar = c(2.5, 0, 0, 0))
+mtext(text = "Número de nós", side = 1, cex = 0.7, adj = 0.6)
fonte("Fonte: Elaborado pelo autor.", cex = 0.7)
@@ -686,71 +723,71 @@ pred <- data.frame(dexp = with(cottonBolls2,
##======================================================================
## Considerando a Poisson
##-------------------------------------------
-## Para nerep
-aux <- predict(m2P.nerep, newdata = pred, se.fit = TRUE)
-aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
-aux <- data.frame(modelo = "Poisson", aux)
-predP.nerep <- cbind(var = "nerep", pred, aux)
-##-------------------------------------------
## Para ncapu
aux <- predict(m3P.ncapu, newdata = pred, se.fit = TRUE)
aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
aux <- data.frame(modelo = "Poisson", aux)
predP.ncapu <- cbind(var = "ncapu", pred, aux)
##-------------------------------------------
+## Para nerep
+aux <- predict(m2P.nerep, newdata = pred, se.fit = TRUE)
+aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
+aux <- data.frame(modelo = "Poisson", aux)
+predP.nerep <- cbind(var = "nerep", pred, aux)
+##-------------------------------------------
## Para nnos
aux <- predict(m3P.nnos, newdata = pred, se.fit = TRUE)
aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
aux <- data.frame(modelo = "Poisson", aux)
predP.nnos <- cbind(var = "nnos", pred, aux)
##
-predP <- rbind(predP.nerep, predP.ncapu, predP.nnos)
+predP <- rbind(predP.ncapu, predP.nerep, predP.nnos)
##======================================================================
## Considerando a COM-Poisson
##-------------------------------------------
-## Para nerep
-aux <- predict(m2C.nerep, newdata = pred, type = "response",
- interval = "confidence")
-aux <- data.frame(modelo = "COM-Poisson", aux)
-predC.nerep <- cbind(var = "nerep", pred, aux)
-##-------------------------------------------
## Para ncapu
aux <- predict(m3C.ncapu, newdata = pred, type = "response",
interval = "confidence")
aux <- data.frame(modelo = "COM-Poisson", aux)
predC.ncapu <- cbind(var = "ncapu", pred, aux)
##-------------------------------------------
+## Para nerep
+aux <- predict(m2C.nerep, newdata = pred, type = "response",
+ interval = "confidence")
+aux <- data.frame(modelo = "COM-Poisson", aux)
+predC.nerep <- cbind(var = "nerep", pred, aux)
+##-------------------------------------------
## Para nnos
aux <- predict(m3C.nnos, newdata = pred, type = "response",
interval = "confidence")
aux <- data.frame(modelo = "COM-Poisson", aux)
predC.nnos <- cbind(var = "nnos", pred, aux)
##
-predC <- rbind(predC.nerep, predC.ncapu, predC.nnos)
+predC <- rbind(predC.ncapu, predC.nerep, predC.nnos)
##======================================================================
## Considerando a Quasi-Poisson
##-------------------------------------------
-## Para nerep
-aux <- predict(m2Q.nerep, newdata = pred, se.fit = TRUE)
-aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
-aux <- data.frame(modelo = "Quasi-Poisson", aux)
-predQ.nerep <- cbind(var = "nerep", pred, aux)
-##-------------------------------------------
## Para ncapu
aux <- predict(m3Q.ncapu, newdata = pred, se.fit = TRUE)
aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
aux <- data.frame(modelo = "Quasi-Poisson", aux)
predQ.ncapu <- cbind(var = "ncapu", pred, aux)
##-------------------------------------------
+## Para nerep
+aux <- predict(m2Q.nerep, newdata = pred, se.fit = TRUE)
+aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
+aux <- data.frame(modelo = "Quasi-Poisson", aux)
+predQ.nerep <- cbind(var = "nerep", pred, aux)
+##-------------------------------------------
## Para nnos
aux <- predict(m3Q.nnos, newdata = pred, se.fit = TRUE)
aux <- with(aux, exp(fit + outer(se.fit, qn, FUN = "*")))
aux <- data.frame(modelo = "Quasi-Poisson", aux)
predQ.nnos <- cbind(var = "nnos", pred, aux)
##
-predQ <- rbind(predQ.nerep, predQ.ncapu, predQ.nnos)
+predQ <- rbind(predQ.ncapu, predQ.nerep, predQ.nnos)
##======================================================================
##-------------------------------------------
@@ -767,6 +804,7 @@ key <- list(
lines = list(lty = c(3, 1, 2), lwd = 1, col = cols),
text = list(c("Poisson", "COM-Poisson", "Quasi-Poisson")))
+da$va <- relevel(da$va, "ncapu")
xyplot(count ~ dexp | va, data = da,
key = key,
type = c("p", "g"),
@@ -776,9 +814,10 @@ xyplot(count ~ dexp | va, data = da,
scales = list(
y = list(relation = "free", rot = 0)),
strip = strip.custom(
- factor.levels = c("Estruturas reprodutivas ",
- "Capulhos produzidos",
- "Nós da planta")),
+ factor.levels = c(
+ "Capulhos produzidos",
+ "Estruturas reprodutivas",
+ "Nós da planta")),
alpha = 0.3,
spread = 0.15,
panel = panel.beeswarm,
@@ -788,7 +827,7 @@ xyplot(count ~ dexp | va, data = da,
layout = c(NA, 1),
scales = list(
y = list(relation = "free", rot = 0)),
- type = "l", col = cols[1], lty = c(1, 3, 3), lwd = 1)
+ type = "l", col = cols[1], lty = c(1, 4, 4), lwd = 1)
) +
as.layer(
xyplot(fit + lwr + upr ~ dexp | var, data = predC,
@@ -809,13 +848,12 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Finalmente a representação gráfica na figura \ref{fig:pred-cottonBolls2}
+Finalmente a representação gráfica na \autoref{fig:pred-cottonBolls2}
mostra os valores preditos pelos modelos Poisson, COM-Poisson e
-Quasi-Poisson com intervalos de confiança para média com 95\% de
-confiança. Assim como na análise realizada na seção
-\ref{sec:analise-cottonBolls}, os valores preditos com bandas de
-confiança obtidos dos modelos COM-Poisson e Quasi-Poisson, são
-praticamente idênticos levando as mesmas interpretações.
+Quasi-Poisson com intervalos de confiança de 95\% para média. Assim como
+na análise realizada na \autoref{sec:analise-cottonBolls}, os valores
+preditos com bandas de confiança obtidos dos modelos COM-Poisson e
+Quasi-Poisson, são idênticos, levando às mesmas interpretações.
Com esse segundo exemplo de subdispersão, em que três contagens foram
realizados em um único experimento. A flexibilidade do modelo
@@ -883,47 +921,47 @@ prof.ng <- profile(m2C.ng, which = "phi")
@
-Nesse experimento apresentado em \ref{sec:soyaBeans}, mais de uma
-variável de interesse em forma de contagem é mensurada e pela descrição
-dos dados caracterÃsticas relacionadas a dispersão da contagem são
-distintas em ambas (equidispersão e superdispersão). Dos modelos
-apresentados no capÃtulo \ref{cap:modelos-para-dados-de-contagem}, o
-Poisson, COM-Poisson, Binomial-Negativo são as alternativas paramétricas
-avaliadas e o Quasi-Poisson é tomado como a alternativa
-semi-paramétrica. As variáveis de interesse números de grãos de soja e
-de vagens viáveis foram contabilizados por unidade experimental (vaso
-com duas plantas) e estão sob o efeito, controlado, de duas covariáveis,
-nÃveis de adubação potássica (\Sexpr{niveis.K}) e nÃveis de umidade do
-solo (\Sexpr{niveis.umid}), que foram considerados na análise como
-fatores com 5 e 3 nÃveis respectivamente. Ainda têm-se, pela condução do
+Nesse experimento, mais de uma variável de interesse em forma de
+contagem é mensurada. Pela descrição dos dados, realizada na
+\autoref{sec:soyaBeans}, caracterÃsticas relacionadas a dispersão da
+contagem são distintas em ambas as variáveis (equidispersão e
+superdispersão). Dos modelos apresentados no
+\autoref{cap:modelos-para-dados-de-contagem}, o Poisson, COM-Poisson,
+Binomial-Negativo são as alternativas paramétricas a serem consideradas
+e o Quasi-Poisson é tomado como a alternativa semi-paramétrica. As
+variáveis de interesse, números de grãos de soja e de vagens viáveis,
+foram contabilizados por unidade experimental (vaso com duas plantas) e
+estão sob o efeito, controlado dos nÃveis de adubação potássica (0, 30,
+60, 120 e 180 mg dm$^{-3}$) e dos nÃveis de umidade do solo
+(37.5, 50 e 62.5\%), que foram considerados na análise como fatores
+com 5 e 3 nÃveis respectivamente. Ainda têm-se, pela condução do
experimento, o efeito relacionado a blocagem realizada, foram cinco
blocos utilizados para controle de variação local. Os preditores
considerados são
\noindent
Preditor 1: $\eta_1 = g(\mu_{ijk}) = \beta_0 + \tau_i + \gamma_j + \delta_k $ \\
-Preditor 1: $\eta_2 = g(\mu_{ijk}) = \beta_0 + \tau_i + \gamma_j + \delta_k +
+Preditor 2: $\eta_2 = g(\mu_{ijk}) = \beta_0 + \tau_i + \gamma_j + \delta_k +
\alpha_{jk}$
\noindent
-em que $\tau_i$ é o efeito do i-ésimo bloco, $i=$1: bloco II, 2: bloco
-III, 3: bloco IV e 4: V; $\gamma_j$ o efeito do j-ésimo nÃvel de umidade
-aplicado, $j=$1: 50\% e 2: 62,5\%; $\delta_k$ o efeito do k-ésimo nÃvel
-de adubação potássica, $k=$ 1: 30, 2: 60, 3: 20 e 4: 180 mg dm$^{-3}$ e
-$\alpha_{jk}$ o efeito da interação entre o j-ésimo nÃvel de umidade do
-solo e o k-ésimo nÃvel de adubação potássica. Assim no modelo mais
-completo, com interação, são 19 parâmetros de locação a serem
-estimados.
-
-Para ajuste dos modelos COM-Poisson nesse exemplo o tempo computacional
-foi ligeiramente mais demorado (em torno de 10s para os quatro modelos
-considerando as duas contagens e os dois preditores). Isso se deve ao
-fato das contagens serem altas (variando entre
+em que $\tau_i$ é o efeito do i-ésimo bloco ($i=$1: bloco II, 2: bloco
+III, 3: bloco IV e 4: V), $\gamma_j$ o efeito do j-ésimo nÃvel de
+umidade aplicado ($j=$1: 50\% e 2: 62,5\%), $\delta_k$ o efeito do
+k-ésimo nÃvel de adubação potássica ($k=$ 1: 30, 2: 60, 3: 20 e 4: 180
+mg dm$^{-3}$) e $\alpha_{jk}$ o efeito da interação entre o j-ésimo
+nÃvel de umidade do solo e o k-ésimo nÃvel de adubação potássica. No
+modelo mais completo, com interação, são 19 parâmetros de locação a
+serem estimados.
+
+Na abordagem via modelos COM-Poisson nesse exemplo, o tempo para ajuste
+foi ligeiramente maior com relação aos exemplos anteriores. Isso se deve
+ao fato das contagens serem elevadas (variando entre
\Sexpr{paste(range(soyaBeans[ , "ngra"]), collapse=" e ")} para o número
de grãos e \Sexpr{paste(range(soyaBeans[ , "nvag"]), collapse=" e ")}
para o número de vagens) e superdispersas ($\phi<0$). Nesse cenário os
incrementos da constante normalizadora $Z(\lambda_i, \nu = \exp(\phi))$,
-expressão \ref{eqn:constante-z}, convergem para 0 mais lentamente.
+\autoref{eqn:constante-z}, convergem para 0 mais lentamente.
<<convergez-soyaBeans, fig.height=3, fig.width=6.7, fig.cap="Convergência das constantes de normalização para cada indivÃduo no modelo para o número de vagens viáveis (esquerda) e para o número de grãos produzidos (direita)">>=
@@ -977,19 +1015,19 @@ lambda.ng <- lam.ng[as.numeric(obs.ng)]
@
-Na figura \ref{fig:convergez-soyaBeans} são exibidos os termos dessa
+Na \autoref{fig:convergez-soyaBeans} são exibidos os termos dessa
constante para cada observação nos modelos mais complexos (com
-interação) para o número de vagens e para o número de grãos. O critério
-de convergência adotado foi de $\lambda^j/(j!)^\nu < 1 \times
-10^{-3}$. No modelo para número de vagens o maior valor para a constante
-foi de \Sexpr{soma.nv}, soma de \Sexpr{nterm.nv} termos, calculados para a
-observação \Sexpr{obs.nv}, que teve o maior valor estimado para o
-parâmetro $\lambda$, $\hat{\lambda} = $\Sexpr{lambda.nv}. Nesse o modelo
-o parâmetro $\phi$ foi estimado em \Sexpr{m2C.nv@coef[1]}. Já no modelo
-para o número de grãos foram necessários \Sexpr{nterm.ng} termos que
-somados resultaram em \Sexpr{soma.ng}, maior constante calculada. Isso
-também se deu na observação \Sexpr{obs.ng} que para este modelo, com
-$\hat{\phi} = $\Sexpr{m2C.ng@coef[1]}, teve um parâmetro $\lambda$
+interação), para o número de vagens e para o número de grãos. O critério
+de convergência adotado foi $\lambda^j/(j!)^\nu < 1 \times 10^{-3}$. No
+modelo para número de vagens o maior valor para a constante foi de
+\Sexpr{soma.nv}, soma de \Sexpr{nterm.nv} termos, calculados para a
+observação \Sexpr{obs.nv}, cujo valor estimado de $\lambda$,
+$\hat{\lambda} = $\Sexpr{lambda.nv}, foi o maior. Nesse o modelo o
+parâmetro $\phi$ foi estimado em \Sexpr{m2C.nv@coef[1]}. Já no modelo
+para o número de grãos foram necessários \Sexpr{nterm.ng} termos que,
+somados, resultaram em \Sexpr{soma.ng}, maior constante calculada. Isso
+também se deu para observação \Sexpr{obs.ng}, que, para este modelo com
+$\hat{\phi} = $\Sexpr{m2C.ng@coef[1]}, estimou-se o parâmetro $\lambda$
estimado em \Sexpr{lambda.ng}.
<<loglik-soyaBeans, include=FALSE>>=
@@ -1034,78 +1072,32 @@ dispersions.ng <- c(
## Adicionando os parametros de dispersão à tabela
tab.nv <- cbind(tab.nv, dispersions.nv)
tab.ng <- cbind(tab.ng, dispersions.ng)
+rownames(tab.ng) <- rownames(tab.nv) <- NULL
## Juntando as tabelas
-## tab.ajuste <- data.frame(pred = rep(paste0("$\\eta_", 1:2, "$"), 4))
-## tab.ajuste <- cbind(tab.ajuste, as.data.frame(cbind(tab.nv, tab.ng)))
-## tab.ajuste <- as.data.frame(cbind(tab.nv, tab.ng))
-
-## ##----------------------------------------------------------------------
-## ## Copiar e colar o corpo do resultado na customização latex abaixo
-## digits <- c(1, 0, 2, 2, -2, -2, 2, 2, -2, -2)
-## print(xtable(tab.ajuste, digits = digits))
+tab.ajuste <- data.frame(pred = rep(paste0("$\\eta_", 1:2, "$"), 4))
+tab.ajuste <- cbind(tab.ajuste, as.data.frame(cbind(tab.nv, tab.ng)))
+pvals <- paste(round(cmptest(m1C.nv, m2C.nv)[, 2], 3), collapse = "e")
@
Medidas de qualidade de ajuste calculadas sob os modelos Poisson,
COM-Poisson, Binomial Negativo e Quasi-Poisson são apresentadas na
-tabela \ref{tab:ajuste-soyaBeans}. Considerando a variável resposta
-número de vagens viáveis, não há indÃcios de afastamento da
-equidispersão indicados i) pelos parâmetros extras dos modelos
-alternativos ao Poisson, em que estimativas $\hat{\phi}$, $\hat{\theta}$
-e $\hat{\sigma^2}$ estão próximas dos valores 0, $\infty$ e 1, que
-compreendem o caso particular Poisson nos modelos COM-Poisson, Binomial
-Negativo e Quasi-Poisson respectivamente, ii) pelas log-verossimilhanças
-dos modelos paramétricos que resultaram em valores muito próximos, iii)
+\autoref{tab:ajuste-soyaBeans}. Considerando a variável resposta número
+de vagens viáveis, não há indÃcios de afastamento da equidispersão
+indicados i) pelos parâmetros extras dos modelos alternativos ao
+Poisson, em que as estimativas $\hat{\phi}$ e $\hat{\sigma^2}$ estão
+próximas dos valores 0 e 1, que compreendem o caso particular Poisson
+nos modelos COM-Poisson e Quasi-Poisson respectivamente e $\hat{\theta}$
+é um valor bastante elevado (lembre-se que a Binomial Negativa se reduz
+à Poisson quando $\theta \to \infty$); e ii) pelas log-verossimilhanças
+dos modelos paramétricos que resultaram em valores muito próximos; iii)
pelos valores de AIC que foram menores nos modelos Poisson, mostrando
-que não há ganho expressivo quando estimados os parâmetros extra dos
-modelos alternativos. Os \textit{p-valores} associados ao TRV entre os
-modelos COM-Poisson e Poisson com preditores 1 e 2 foram de
-\Sexpr{cmptest(m1C.nv, m2C.nv)[, 2]}, evidenciando a não fuga de
-equidispersão dos dados. Na figura \ref{fig:prof-soyaBeans} à esquerda
-são apresentados os intervalos de confiança baseados no perfil de
-verossimilhança para $\phi$, no modelo COM-Poisson com efeito de
-interação, como esses intervalos contém o valor da hipótese nula 0, o
-modelo COM-Poisson pode ser reduzido ao Poisson. Para avaliação dos
-preditores, novamente tem-se um caso de valores na borda de
-significância. Nas análises que a seguir o modelo mais completo com a
-interação entre adubação e umidade é considerado.
-
-\begin{table}[ht]
-\centering
-\small
-\caption{Medidas de ajuste para avaliação e comparação entre preditores
- e modelos ajustados ao número de vagens e ao número de grão por parcela}
-\label{tab:ajuste-soyaBeans}
-\begin{tabular}{lcccrcccrc}
- \toprule
- & & \multicolumn{4}{c}{{\bfseries Número de vagens}} & \multicolumn{4}{c}{{\bfseries Número de grãos}} \\
- \cmidrule{3-6} \cmidrule{7-10}
-{PO} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & \\
- \midrule
- $\eta_1$ & 11 & -266,69 & 555,38 & & & -343,16 & 708,33 & & \\
- $\eta_2$ & 19 & -259,62 & 557,23 & 7,79E-02 & & -321,67 & 681,34 & 8,83E-07 & \\[0.3cm]
-{CP} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ \\
- \midrule
- $\eta_1$ & 12 & -266,60 & 557,20 & & -6,75E-02 & -326,61 & 677,21 & & -8,17E-01 \\
- $\eta_2$ & 20 & -259,33 & 558,65 & 6,85E-02 & 1,29E-01 & -315,64 & 671,29 & 5,06E-03 & -5,18E-01 \\[0.3cm]
-{BN} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\theta}$ & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\theta}$ \\
- \midrule
- $\eta_1$ & 12 & -266,69 & 557,37 & & 4,59E+03 & -326,54 & 677,07 & & 1,42E+02 \\
- $\eta_2$ & 20 & -259,62 & 559,23 & 7,82E-02 & 1,03E+06 & -315,39 & 670,77 & 4,39E-03 & 2,61E+02 \\[0.3cm]
-{QP} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\sigma^2}$ & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\sigma^2}$ \\
- \midrule
- $\eta_1$ & 11 & 79,43 & & & 1,28E+00 & 167,71 & & & 2,71E+00 \\
- $\eta_2$ & 19 & 65,28 & & 1,87E-01 & 1,20E+00 & 124,72 & & 3,00E-02 & 2,29E+00 \\
- \bottomrule
-\end{tabular}
-\begin{tablenotes}
- \footnotesize
-\item np, número de parâmetros, PO, Poisson, CP, COM-Poisson, BN,
- Binomial Negativo, QP, Quasi-Poisson.
-\item Fonte: Elaborado pelo autor.
-\end{tablenotes}
-\end{table}
+que não há ganho expressivo quando estimados os parâmetros de
+dispersão/precisão nos modelos alternativos. Os \textit{p-valores}
+associados ao TRV entre os modelos COM-Poisson e Poisson com preditores
+1 e 2 foram \Sexpr{pvals}, evidenciando a não fuga de equidispersão dos
+dados.
<<prof-soyaBeans, fig.height=2.7, fig.width=5.5, out.width="0.8\\linewidth", fig.cap="Perfis de log-verossimilhança para o parâmetro de precisão da COM-Poisson nos modelos para número de vagens viáveis por parcela (esquerda) e número grãos de soja por parcela (direira).">>=
@@ -1161,23 +1153,104 @@ xyplot(abs(z) ~ focal | param, data = da.soya,
@
-No fragmento direito da tabela \ref{tab:ajuste-soyaBeans} são
-apresentados os resultados para os modelos que ajustam os efeitos para o
+
+Na figura \autoref{fig:prof-soyaBeans} (à esquerda) são
+apresentados os intervalos de confiança baseados no perfil de
+verossimilhança para $\phi$, no modelo COM-Poisson com efeito de
+interação. Como esses intervalos contém o valor 0, da hipótese nula, o
+modelo COM-Poisson pode ser reduzido ao Poisson. Para avaliação dos
+preditores, novamente tem-se um caso de valores próximos ao nÃvel de
+significância nominal de 0,05. Nas análises a seguir o modelo mais
+completo, com a interação entre adubação e umidade, é considerado.
+
+\begin{table}[ht]
+\centering
+\small
+\caption{Medidas de ajuste para avaliação e comparação entre preditores
+ e modelos ajustados ao número de vagens e ao número de grão por parcela}
+\label{tab:ajuste-soyaBeans}
+\begin{tabular}{lccccccccc}
+ \toprule
+ & & \multicolumn{4}{c}{{\bfseries Número de vagens}} & \multicolumn{4}{c}{{\bfseries Número de grãos}} \\
+ \cmidrule(lr){3-6} \cmidrule(lr){7-10}
+{PO} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & \\
+ \midrule
+<<tab-soyaBeans1, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 4, 3, 2, 2, -2, 3)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[1:2, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
+{CP} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ \\
+ \midrule
+<<tab-soyaBeans2, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 4)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[3:4, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
+{BN} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\theta}$ & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\theta}$ \\
+ \midrule
+<<tab-soyaBeans3, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 4, -1, 2, 2, 4, -1)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[5:6, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
+{QP} & np & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\sigma^2}$ & $\ell$ & AIC & P($>\rchi^2$) & $\hat{\sigma^2}$ \\
+ \midrule
+<<tab-soyaBeans4, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 3)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[7:8, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
+
+@
+ \bottomrule
+\end{tabular}
+\begin{tablenotes}
+ \footnotesize
+\item np, número de parâmetros; PO, Poisson; CP, COM-Poisson; BN,
+ Binomial Negativo; e QP, Quasi-Poisson.
+\item Fonte: Elaborado pelo autor.
+\end{tablenotes}
+\end{table}
+
+Na tabela \autoref{tab:ajuste-soyaBeans} (resultados à direita) são
+apresentados as medidas de ajuste para os modelos considerados para o
número de grãos por parcela. Neste caso há evidências de superdispersão,
pois as estimativas dos parâmetros $\phi$ e $\sigma^2$ foram menor que
-zero e maior que 1 respectivamente. Os valores de AIC se apresentam
-menores e as avaliações da log-verossimilhança no ponto máximo maiores
-para os modelos paramétricos alternativos ao Poisson. Ainda a evidência
-sobre o efeito de interação para essa variável resposta é maior. Na
-figura \ref{fig:prof-soyaBeans} à direita, a verossimilhança perfilhada
-em $\phi$ é apresentada com indicação dos intervalos de confiança e
-estes não contém o valor zero.
+zero e maior que 1, respectivamente. Os valores de AIC foram menores e
+as avaliações da log-verossimilhança maiores, nos modelos paramétricos
+alternativos ao Poisson, quando comparados ao Poisson. Na
+\autoref{fig:prof-soyaBeans} à direita, a verossimilhança perfilhada em
+$\phi$ é apresentada com indicação dos intervalos de confiança e estes
+não contém o valor zero.
A visualização das covariâncias entre as estimativas dos parâmetros no
-modelo COM-Poisson para o número de vagens por parcela é feita na figura
-\ref{fig:corr-soyaBeansa} e para o número de grãos por parcela na figura
-\ref{fig:corr-soyaBeansb}. Em ambos os casos a correlação entre os
-parâmetros de locação ($\beta$'s) e dispersão ($\phi$) ganha destaque.
+modelo COM-Poisson para o número de vagens por parcela é feita na
+\autoref{fig:corr-soyaBeansa} e, para o número de grãos por parcela na
+\autoref{fig:corr-soyaBeansb}. Em ambos os casos a correlação entre os
+parâmetros de locação ($\beta$'s) e dispersão ($\phi$) ganha destaque,
+pois há uma forte correlação, principalmente entre $\phi$ e $\beta_0$.
<<corr-soyaBeansa, fig.height=7, fig.width=7, fig.cap="Imagem da matriz de correlação entre os parâmetros do modelo COM-Poisson ajustados ao número de vagens por parcela.">>=
@@ -1213,14 +1286,14 @@ fonte("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Na figura \ref{fig:pred-soyaBeans} são apresentadas as médias calculadas
+Na \autoref{fig:pred-soyaBeans} são apresentadas as médias calculadas
com intervalos de confiança 95\% sob os modelos Poisson, COM-Poisson,
Binomial-Negativo e Quasi-Poisson, considerando efeito de interação
entre os nÃveis de umidade do solo e adubação potássica. Tomou-se o
-efeito médio de bloco, uma vez que esse efeito aditivo não é de interesse
-prático.
+efeito médio de bloco, uma vez que esse efeito aditivo não é de
+interesse prático.
-<<pred-soyaBeans, fig.height=5, fig.width=7.5, fig.cap="Valores preditos com intervalos de confiança (95\\%) como função do nÃvel de adubação com potássio e do percentual de umidade do solo para cada variável de interesse mensurada (número de vagens e número de grãos por parcela).">>=
+<<pred-soyaBeans, fig.height=4.5, fig.width=7.2, fig.cap="Valores preditos com intervalos de confiança (95\\%) como função do nÃvel de adubação com potássio e do percentual de umidade do solo para cada variável de interesse mensurada (número de vagens e número de grãos por parcela).">>=
library(multcomp)
@@ -1331,6 +1404,7 @@ da <- reshape2::melt(
variable.name = "var", value.name = "count")
key <- list(type = "o", divide = 1,
+ columns = 2,
lines = list(pch = 1:nlevels(pred.all$model) + 4,
cex = 0.8),
text = list(c("Poisson", "COM-Poisson",
@@ -1370,20 +1444,21 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Para a contagem do número de vagens, observa-se os intervalos com
+Para a contagem do número de vagens, observa-se intervalos com
comprimento muito parecidos, ligeiramente menores para o caso
-COM-Poisson e Binomial Negativo. Para a contagem do número de grão por
+COM-Poisson e Binomial Negativo. Para a contagem do número de grãos por
parcela, um caso superdisperso, percebe-se que o modelo Poisson nos leva
-a uma falsa precisão, uma vez que os intervalos são menores não por se
-ajustar melhor aos dados, mas sim por subestimar a variabilidade do
-processo. Para as formulações alternativas, obteve-se intervalos de
-confiança para média menores nos modelos paramétricos quando comparados
-com o semi-paramétrico Quasi-Poisson, isso é razoável, pois nos
-Quasi-Poisson somente a especificação de dois momentos é feita, enquanto
-que nos paramétricos especifica-se a distribuição completa, ganhando
-informação (ver equação \ref{eqn:quasi-informacao}). De forma geral os
-intervalos sob os modelos COM-Poisson e Binomial Negativa são maiores,
-porém fiéis a variabilidade inerente ao processo.
+a uma falsa precisão, uma vez que os intervalos são menores não pelo
+modelo se ajustar melhor aos dados, mas sim por subestimar a
+variabilidade do processo. Para as formulações alternativas, obteve-se
+intervalos de confiança menores nos modelos paramétricos quando
+comparados com os intervalos obtidos da abordagem semi-paramétrico
+Quasi-Poisson. Isso é razoável, pois nos modelos Quasi-Poisson somente a
+especificação de dois momentos é feita, enquanto que nos paramétricos
+especifica-se a distribuição completa, ganhando informação (ver
+\autoref{eqn:quasi-informacao}). De forma geral os intervalos sob os
+modelos COM-Poisson e Binomial Negativa são fiéis a variabilidade
+inerente ao processo.
\section{Análise de ninfas de mosca-branca em lavoura de soja}
\label{sec:analise-whiteFly}
@@ -1421,34 +1496,34 @@ prof.ntot <- profile(m1C.ntot, which = "phi")
@
-Neste experimento também há fortes indÃcios de superdispersão, conforme
-visto na seção \ref{sec:whiteFly}. Assim os modelos Poisson,
-COM-Poisson, Binomial Negativo e Quasi-Poisson serão aplicados. A
+Nesse experimento também há fortes indÃcios de superdispersão, conforme
+visto na \autoref{sec:whiteFly}. Assim os modelos Poisson,
+COM-Poisson, Binomial Negativo e Quasi-Poisson foram aplicados. A
variável em estudo é a contagem da quantidade de ninfas de Mosca-branca
-nos folÃolos de plantas de soja, ao longo dos dias nas diferentes
+nos folÃolos de plantas de soja ao longo dos dias em diferentes
cultivares. Como o experimento foi conduzido sob delineamento de blocos
casualizados, os efeitos de bloco são considerados no modelo. As
-covariáveis serão tratadas como fator, assim como na aplicação anterior,
+covariáveis foram tratadas como fator, assim como na aplicação anterior,
com seis nÃveis para o número de dias decorridos a partir da primeira
avaliação e quatro nÃveis para o fator cultivar de soja. Os preditores
em comparação são:
\noindent
Preditor 1: $\eta_1 = g(\mu_{ijk}) = \beta_0 + \tau_i + \gamma_j + \delta_k $ \\
-Preditor 1: $\eta_2 = g(\mu_{ijk}) = \beta_0 + \tau_i + \gamma_j + \delta_k +
+Preditor 2: $\eta_2 = g(\mu_{ijk}) = \beta_0 + \tau_i + \gamma_j + \delta_k +
\alpha_{jk}$
\noindent
-em que $\tau_i$ é o efeito do i-ésimo bloco, $i=$1: bloco II, 2: bloco
-III, 3: bloco IV e 4: V; $\gamma_j$ o efeito da j-ésima cultivar ,
-$j=$1: BRS 243 RR, 2: BRS 245 RR e 3: BRS 246 RR; $\delta_k$ o efeito do
-k-ésimo nÃvel do número de dias após o inÃcio do experimento, $k=$ 8,
-13, 22, 31 e 38 dias e $\alpha_{jk}$ o efeito da interação entre a
-j-ésima cultivar e o k-ésimo nÃvel do número de dias após o inÃcio do
-experimento. A avaliação do efeito de interação é de interesse prático,
-pois informa se há um padrão distinto na quantidade de ninfas ao longo
-do tempo entre as cultivares. No modelo com interação, 27
-parâmetros de locação a devem ser estimados.
+em que $\tau_i$ é o efeito do i-ésimo bloco ($i=$1: bloco II, 2: bloco
+III, 3: bloco IV e 4: V), $\gamma_j$ o efeito da j-ésima cultivar
+($j=$1: BRS 243 RR, 2: BRS 245 RR e 3: BRS 246 RR), $\delta_k$ o efeito
+do k-ésimo nÃvel do número de dias após o inÃcio do experimento ($k=$1:
+8, 2: 13, 3: 22, 4: 31 e 5: 38 dias) e $\alpha_{jk}$ o efeito da
+interação entre a j-ésima cultivar e o k-ésimo nÃvel do número de dias
+após o inÃcio do experimento. A avaliação do efeito de interação é de
+interesse prático, pois informa se há um padrão distinto na quantidade
+de ninfas ao longo do tempo entre as cultivares. No modelo com
+interação, 27 parâmetros de locação devem ser estimados.
<<convergez-prof-whiteFly, fig.height=3, fig.width=6.5, fig.cap="Convergência das constantes de normalização para cada indivÃduo (direita) e perfil de log-verossimilhança para o parâmetro extra da COM-Poisson (esquerda) no modelo para o número de ninfas de Mosca-branca.">>=
@@ -1478,12 +1553,14 @@ xy1 <- xyplot(z ~ j | var, data = const.ntot,
expression(frac(lambda[i]^j, "(j!)"^nu)),
rot = 0),
strip = strip.custom(
- factor.levels = c("Número de vagens")),
+ factor.levels = expression("Incrementos "~Z[j])),
par.settings = ps.sub)
##-------------------------------------------
## Perfil de log-verossimilhanca para phi
-xy2 <- myprof(prof.ntot, subset = 4, par.settings = ps.sub)
+xy2 <- myprof(prof.ntot,
+ namestrip = expression("Perfil para "~phi),
+ subset = 4, par.settings = ps.sub)
print(xy1, split = c(1, 1, 2, 1), more = TRUE)
print(xy2, split = c(2, 1, 2, 1), more = FALSE)
@@ -1491,25 +1568,25 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-Assim como na aplicação superdispersa apresentada na seção
-\ref{sec:analise-soyaBeans}, nesse exemplo tem-se um cenário com
-contagens altas (variando entre \Sexpr{paste(range(soyaBeans[ ,
+Assim como na aplicação superdispersa apresentada na
+\autoref{sec:analise-soyaBeans}, nesse exemplo tem-se um cenário com
+contagens elevadas (variando entre \Sexpr{paste(range(soyaBeans[ ,
"ngra"]), collapse=" e ")}) e ainda superdispersas (parâmetros $\phi$
estimados próximos à -3). Isso torna a convergência da função
$Z(\lambda_i, \nu = \exp(\phi))$ demorada e o valor dessa constante, que
normaliza a densidade, é altÃssimo para a maioria das
observações. Considerando o modelo com interação, pode-se visualizar os
termos, que somados compõem a constante $Z$, para cada observação, Ã
-direira da figura \ref{fig:convergez-prof-whiteFly}. Para a observação
+esquerda da \autoref{fig:convergez-prof-whiteFly}. Para a observação
\Sexpr{obs.ntot} tem-se o maior valor calculado da constante $Z$,
-\Sexpr{soma.ntot}. Para obtenção deste valor \Sexpr{nterm.ntot} termos
+\Sexpr{soma.ntot}. Para obtenção desse valor \Sexpr{nterm.ntot} termos
foram necessários, conforme exibido no eixo $x$ do gráfico.
Em problemas com contagens altas e comportamento muito superdisperso a
obtenção da constante Z pode se tornar proibitiva computacionalmente,
-devido à \textit{overflow} (valores que ultrapassam o limite de
-capacidade de cálculo da máquina) e consequentemente o modelo
-COM-Poisson não se ajusta.
+devido ao problema de \textit{overflow} (valores que ultrapassam o
+limite de capacidade de cálculo da máquina) e, consequentemente, o
+modelo COM-Poisson não se ajusta.
<<loglik-whiteFly, include=FALSE>>=
@@ -1538,24 +1615,19 @@ tab.ajuste <- data.frame(
pred = rep(paste("Preditor", 1:2), 4),
tab.ntot)
-## ##----------------------------------------------------------------------
-## ## Copiar e colar o corpo do resultado na customização latex abaixo
-## digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 2)
-## print(xtable(tab.ajuste, digits = digits))
-
@
Nesse exemplo, os modelos COM-Poisson convergiram e seus resultados são
-exibidos na tabela \ref{tab:ajuste-whiteFly} em conjunto com os
+exibidos na \autoref{tab:ajuste-whiteFly} em conjunto com os
resultados do ajuste dos modelos Poisson, Binomial Negativo e
Quasi-Poisson. Todas as estimativas dos parâmetros extras nos modelos
-concorrentes ao Poisson, $\hat{\phi}$, $\hat{\theta}$ e $\hat{\sigma^2}$
-indicam expressivamente a superdispersão os dados. Em benefÃcio dos
+concorrentes ao Poisson $\hat{\phi}$, $\hat{\theta}$ e $\hat{\sigma^2}$
+indicam expressivamente superdispersão. Em benefÃcio dos
modelos alternativos ao Poisson tem-se todas as medidas apresentadas
indicando uma substancial melhora de ajuste quando flexibilizado o
modelo. Destaque para a magnitude dessas evidências, em que, por
exemplo, o AIC obtido dos modelos alternativos é em torno de 0,47
-vezes o obtido do Poisson.
+vezes o AIC obtido do Poisson.
\begin{table}[ht]
\centering
@@ -1567,37 +1639,68 @@ vezes o obtido do Poisson.
\toprule
Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & \\
\midrule
- Preditor 1 & 12 & -922,98 & 1869,96 & & & & \\
- Preditor 2 & 27 & -879,23 & 1812,46 & 87,50 & 15 & 2,90E-12 & \\[0.3cm]
+<<tab-whiteFly1, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 3)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[1:2, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
COM-Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ \\
\midrule
- Preditor 1 & 13 & -410,44 & 846,89 & & & & -3,08 \\
- Preditor 2 & 28 & -407,15 & 870,30 & 6,59 & 15 & 9,68E-01 & -2,95 \\[0.3cm]
+<<tab-whiteFly2, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 4, 3)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[3:4, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
Binomial Neg. & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\theta}$ \\
\midrule
- Preditor 1 & 13 & -406,16 & 838,31 & & & & 3,44 \\
- Preditor 2 & 28 & -400,55 & 857,10 & 11,21 & 15 & 7,38E-01 & 3,99 \\[0.3cm]
+<<tab-whiteFly3, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 4, 3)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[5:6, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
Quase-Poisson & np & deviance & AIC & F & diff np & P(>F) & $\hat{\sigma}^2$ \\
\midrule
- Preditor 1 & 12 & 1371,32 & & & & & 17,03 \\
- Preditor 2 & 27 & 1283,82 & & 0,31 & 15 & 9,93E-01 & 19,03 \\
+<<tab-whiteFly4, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 4, 3)
+print.xtable(xtable(tab.ajuste[7:8, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
\footnotesize
-\item np, número de parâmetros, diff $\ell$, diferença entre
- log-verossimilhanças, F, estatÃstica F baseada nas quasi-deviances,
+\item np, número de parâmetros; diff $\ell$, diferença entre
+ log-verossimilhanças; F, estatÃstica F baseada nas quasi-deviances;
diff np, diferença entre o np.
\item Fonte: Elaborado pelo autor.
\end{tablenotes}
\end{table}
-Para tomada de decisão, observa-se que o modelo Poisson é claramente
-inadequado. Para avaliação dos preditores, na tabela
-\ref{tab:ajuste-whiteFly}, o modelo Poisson indica (com uma
-significância inferior a $1 \times 10^{-10}$) que há efeito de interação
-entre os dias decorridos da primeira avaliação e as cultivares ao passo
-que, nos modelos alternativos, esse efeito é marcadamente não
+Para tomada de decisão quanto a significância dos efeitos, observa-se
+que o modelo Poisson é claramente inadequado. Para avaliação dos
+preditores, na \autoref{tab:ajuste-whiteFly}, o modelo Poisson indica
+(com uma significância inferior a $1 \times 10^{-10}$) que há efeito de
+interação entre os dias decorridos da primeira avaliação e as cultivares
+ao passo que, nos modelos alternativos, esse efeito é marcadamente não
significativo. Essa discordância se deve, conforme já discutido, ao fato
de o modelo Poisson subestimar a variabilidade por sua restrição de
equidispersão. Assim, com variâncias menores, qualquer efeito acrescido
@@ -1605,9 +1708,9 @@ ao modelo passará por significativo.
Enfatizando a superdispersão indicada pelo modelo COM-Poisson e
considerando o preditor de efeitos aditivos, tem-se o perfil de
-verossimilhança para o parâmetro $\phi$ apresentado na figura
-\ref{fig:convergez-prof-whiteFly}. Pode-se observar que os limites
-inferiores dos intervalos de confiança de 90, 95 e 99\% estão muito
+verossimilhança para o parâmetro $\phi$ apresentado na
+\autoref{fig:convergez-prof-whiteFly}. Pode-se observar que os limites
+inferiores dos intervalos de confiança de 99, 95 e 90\% estão muito
distantes do valor 0, sob o qual os modelos Poisson e COM-Poisson são
equivalentes. Outra caracterÃstica desse gráfico é a leve assimetria Ã
esquerda, indicando que haverá imperfeições para inferências baseadas na
@@ -1630,8 +1733,8 @@ fonte("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
As covariâncias entre os efeitos estimados pelo modelo COM-Poisson
-também são apresentadas, conforme descrição do preditor 1 na figura
-\ref{fig:corr-whiteFly}, sob a escala de correlação. Similarmente as
+também são apresentadas, conforme descrição do preditor 1, na
+\autoref{fig:corr-whiteFly}, sob a escala de correlação. Similarmente as
análises anteriores observa-se a alta correlação entre $\hat{\phi}$ e os
demais parâmetros de regressão. A soma dos valores absolutos das
correlações observadas entre $\hat{\phi}$ e as demais estimativas é de
@@ -1696,6 +1799,7 @@ pred.all <- pred.all[with(pred.all, order(cult, aval, modelo)), ]
## Gráfico
key <- list(type = "o", divide = 1,
+ column = 2,
lines = list(pch = 1:nlevels(pred.all$model) + 4,
cex = 0.8),
text = list(c("Poisson", "COM-Poisson",
@@ -1732,25 +1836,25 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
@
-As médias com intervalos de confiança calculadas para cada combinação
-dos nÃveis de dias após a primeira avaliação e cultivar de soja
+As médias, com intervalos de confiança, calculadas para cada combinação
+dos nÃveis de dias após a primeira avaliação e cultivar de soja,
considerando os modelos Poisson, COM-Poisson, Binomial-Negativo e
-Quasi-Poisson, são apresentadas na figura \ref{fig:pred-whiteFly}. Para
-o efeito de bloco foi considerado o efeito médio, para uma correta
+Quasi-Poisson, são apresentadas na \autoref{fig:pred-whiteFly}. Para o
+efeito de bloco foi considerado o efeito médio, para uma correta
comparação. Pode-se observar que o intervalo de confiança descrito pelo
modelo Poisson é quase imperceptÃvel quando comparados aos demais,
mostrando novamente que seu uso é inadequado a esses dados. Já para as
-outras alternativas não tivemos um comportamento padrão em todas as
-cultivares. Os intervalos pelo modelos Quasi-Poisson e COM-Poisson foram
-muito similares em todos os casos e os intervalos pelo modelo Binomial
-Negativo mais amplos. Um fato interessante é que não necessariamente as
-estimativas pontuais da média desses modelos alternativos serão iguais,
-isso ocorre, por construção, somente para nos modelos Poisson e
-Quasi-Poisson, esse exemplo ilustra na prática a constatação desse
-fato. Para o modelo Binomial Negativo tivemos médias visivelmente
-superiores que os demais para a cultivar BRS 239. Para o modelo
-COM-Poisson as estimativas pontuais são visivelmente iguais as do modelo
-Poisson.
+outras alternativas não tivemos um comportamento razoavelmente similar
+em todas as cultivares. Os intervalos pelos modelos Quasi-Poisson e
+COM-Poisson foram muito similares em todos os casos e os intervalos pelo
+modelo Binomial Negativo mais amplos. Um fato interessante é que não
+necessariamente as estimativas pontuais da média desses modelos
+alternativos serão iguais. Isso ocorre, por construção, somente para nos
+modelos Poisson e Quasi-Poisson. Esse exemplo ilustra na prática a
+constatação desse fato. Para o modelo Binomial Negativo tivemos médias
+visivelmente superiores que os demais para a cultivar BRS 239. Para o
+modelo COM-Poisson as estimativas pontuais são aproximadamente iguais as
+do modelo Poisson.
\section{Análise de captura de peixes em um parque estadual}
\label{sec:analise-fish}
@@ -1783,14 +1887,14 @@ m2HC <- hurdlecmp(f2, data = fish)
Nesse exemplo ilustra-se a análise de um estudo observacional em que
aparentemente há uma quantidade excessiva de contagens nulas (veja a
-seção \ref{sec:fish}). O estudo tem por objetivo a modelagem do número
-de peixes capturados por grupos de visitantes em um Parque Estadual. As
-covariáveis mensuradas foram (\texttt{np}), o número de pessoas no
-grupo, (\texttt{nc}), o número de crianças e (\texttt{ca}) variável
-binária que indica a presença ou não de um campista no grupo.
+\autoref{sec:fish}). O estudo tem por objetivo a modelagem do número de
+peixes capturados por grupos de visitantes em um Parque Estadual. As
+covariáveis mensuradas foram o número de pessoas no grupo (\texttt{np}),
+o número de crianças (\texttt{nc}) e a indicação da presença ou não de
+um campista no grupo (\texttt{ca}, 0: se não presente e 1: se presente).
Como já antecipado pela visualização e apresentação dos dados, modelos
-estruturados de forma convencional, que pressupõe apenas um processo
+estruturados de forma convencional, que pressupõem apenas um processo
estocástico na geração de dados, não se ajustaram adequadamente. A
seguir a alternativa de inclusão de um efeito de barreira para acomodar
a quantidade excessiva de valores zero é apresentada. Os modelos Poisson,
@@ -1799,8 +1903,8 @@ comparados.
O número de peixes capturados é modelado em duas partes, as contagens
nulas e as não nulas, conforme descrito na seção
-\ref{cap02:zeros}. Abaixo define-se os preditores considerados para as
-duas partes
+\autoref{cap02:zeros}. Abaixo define-se os preditores considerados para
+as duas partes
\noindent
Preditor 1: \quad $
@@ -1825,7 +1929,7 @@ Preditor 2: \quad $
\noindent
sendo $g(\mu)$ e $\textrm{logit}(\pi)$ as funções de ligação que
relacionam os preditores lineares com as médias dos modelos para
-contagens não nulas e contagens zero respectivamente. Os preditores
+contagens não nulas e contagens zero, respectivamente. Os preditores
lineares foram propostos de forma aninhada. No primeiro considera-se os
efeitos aditivos de todas as covariáveis mensuradas para a parte das
contagens nulas e efeitos aditivos do número de pessoas e de crianças
@@ -1849,10 +1953,6 @@ dispersions <- c(NA, NA, dispHB, dispHC)
tab <- data.frame(pred = rep(paste("Preditor", 1:2), 3))
tab <- cbind(tab, rbind(anHP, anHB, anHC), dispersions)
-## ## Gerando o código latex
-## digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 2)
-## xtable(tab, digits = digits)
-
@
\begin{table}[ht]
@@ -1865,40 +1965,85 @@ tab <- cbind(tab, rbind(anHP, anHB, anHC), dispersions)
\toprule
Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & \\
\midrule
- Preditor 1 & 7 & -857,48 & 1728,96 & & & & \\
- Preditor 2 & 10 & -744,58 & 1509,17 & 225,79 & 3 & 1,12E-48 & \\[0.3cm]
+<<tab-fish1, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 3)
+print.xtable(xtable(tab[1:2, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
Binomial Negativo & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\theta}$ \\
\midrule
- Preditor 1 & 8 & -399,79 & 815,58 & & & & 0,20 \\
- Preditor 2 & 11 & -393,72 & 809,44 & 12,14 & 3 & 6,91E-03 & 0,37 \\[0.3cm]
+<<tab-fish2, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 4, 3)
+print.xtable(xtable(tab[3:4, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
COM-Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ \\
\midrule
- Preditor 1 & 8 & -409,85 & 835,71 & & & & -8,77 \\
- Preditor 2 & 11 & -402,30 & 826,59 & 15,12 & 3 & 1,72E-03 & -3,77 \\
+<<tab-fish3, results="asis">>=
+
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 3, 3)
+print.xtable(xtable(tab[5:6, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+\specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
\footnotesize
-\item np, número de parâmetros, diff $\ell$, diferença entre
- log-verossimilhanças, F, estatÃstica F baseada nas quasi-deviances,
+\item np, número de parâmetros; diff $\ell$, diferença entre
+ log-verossimilhanças; F, estatÃstica F baseada nas quasi-deviances;
diff np, diferença entre o np. \\[0.1cm]
\item Fonte: Elaborado pelo autor.
\end{tablenotes}
\end{table}
-Na tabela \ref{tab:ajuste-fish} as medidas de ajuste dos modelos
-Poisson, Binomial Negativo e COM-Poisson são apresentadas para
-comparação dos resultados. Observa-se pelas log-verossimilhanças
-maximizadas que o modelo Poisson não se ajustou adequadamente quando
-comparado aos demais. Isso se deve ao fato discutido na seção
-\ref{cap02:zeros}, que mesmo modelando os zeros pode-se ter diferentes
-nÃveis de dispersão para as contagens nulas. Nesse exemplo as contagens
-não nulas são superdispersas, conforme visto pelas estimativas dos
-parâmetros extras do modelo Binomial Negativo e COM-Poisson. Indicado
-pelos nÃveis descritivos dos TRV's aplicados nos modelos encaixados há
-evidências de que o modelo com efeitos de interação é distinto do modelo
-com efeitos aditivos definidos no preditor 1.
+Na \autoref{tab:ajuste-fish} as medidas de ajuste dos modelos Poisson,
+Binomial Negativo e COM-Poisson são apresentadas para comparação dos
+resultados. Observa-se pelas log-verossimilhanças maximizadas que o
+modelo Poisson não se ajustou adequadamente quando comparado aos
+demais. Isso se deve ao fato discutido na \autoref{cap02:zeros}, que
+mesmo modelando os zeros pode-se ter diferentes nÃveis de dispersão para
+as contagens não nulas. Nesse exemplo as contagens não nulas são
+superdispersas, visto pelas estimativas dos parâmetros extras do modelo
+Binomial Negativo e COM-Poisson. Indicado pelos nÃveis descritivos dos
+TRV's aplicados nos modelos encaixados, há evidências de que o modelo com
+efeitos de interação é distinto do modelo com efeitos aditivos definido
+no preditor 1.
+As estimativas dos parâmetros para cada especificação de modelos são
+exibidas na \autoref{tab:coef-fish}. Observe, primeiramente, que as
+estimativas dos parâmetros $\gamma_i$, $i = 0, 1, 2, 3, 4$ são
+idênticas, independentemente do modelo adotado. Esse resultado é
+esperado, pois na construção dos modelos com componente de barreira, a
+modelagem da parte que contempla os valores zero é realizada via
+distribuição Bernoulli com parâmetro $\pi = \textrm{logit}(Z\gamma)$. As
+diferenças entre os modelos ocorre na distribuição considerada para a
+parte das contagens não nulas.
+
+\begin{table}[ht]
+\centering
+\caption{Estimativas dos parâmetros e razões entre as estimativa e erro
+ padrão para os três modelos em estudo}
+\label{tab:coef-fish}
+\begin{tabular}{lcccccc}
+ \toprule
+ & \multicolumn{2}{c}{Poisson} & \multicolumn{2}{c}{Binomial Negativo} & \multicolumn{2}{c}{COM-Poisson} \\
+ \cmidrule(lr){2-3} \cmidrule(lr){4-5} \cmidrule(lr){6-7}
+ Parâmetro & Estimativa & Est/EP & Estimativa & Est/EP & Estimativa & Est/EP \\
+ \midrule
<<coef-fish, results="asis">>=
##======================================================================
@@ -1920,46 +2065,21 @@ coHB <- with(summary(m2HB)$coef, {
coHC <- summary(m2HC)@coef[, c(1, 3)]
## Empilha
-pnames <- c("phi", paste("beta", 0:4, sep = "_"),
- paste("gamma", 0:4, sep = "_"))
-tab <- data.frame(pnames, cbind(coHP, coHB, coHC))
+pnames <- c("$\\sigma^2,\\,\\phi$",
+ paste("$\\beta_{", 0:4, "}$"),
+ paste("$\\gamma_{", 0:4, "}$"))
-## xtable(tab)
-
-@
+tab <- data.frame(cbind(coHP, coHB, coHC))
+rownames(tab) <- pnames
-As estimativas dos parâmetros para cada especificação de modelos são
-exibidas na tabela \ref{tab:coef-fish}. Observe, primeiramente, que as
-estimativas dos parâmetros $\gamma_i$, $i = 0, 1, 2, 3, 4$ são
-idênticas, independentemente do modelo adotado. Esse resultado é
-esperado, pois na construção dos modelos com componente de barreira, a
-modelagem da parte que contempla os valores zero é realizada via
-distribuição Bernoulli com parâmetro $\pi = \textrm{logit}(Z\gamma)$. As
-diferenças entre os modelos ocorre na distribuição considerada para a
-parte das contagens não nulas.
+print.xtable(xtable(tab),
+ include.rownames = TRUE,
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
-\begin{table}[ht]
-\centering
-\caption{Estimativas dos parâmetros e razões entre as estimativa e erro
- padrão para os três modelos em estudo}
-\label{tab:coef-fish}
-\begin{tabular}{lcccccc}
- \toprule
- & \multicolumn{2}{c}{Poisson} & \multicolumn{2}{c}{Binomial Negativo} & \multicolumn{2}{c}{COM-Poisson} \\
- \cmidrule(lr){2-3} \cmidrule(lr){4-5} \cmidrule(lr){6-7}
- Parâmetro & Estimativa & Est/EP & Estimativa & Est/EP & Estimativa & Est/EP \\
- \midrule
- $\phi,\,\theta$ & & & 0,37 & -2,08 & -3,77 & -9,52 \\
- $\beta_0$ & -1,01 & -5,44 & -1,75 & -2,90 & -0,62 & -29,74 \\
- $\beta_1$ & 0,74 & 7,88 & 0,41 & 1,23 & 0,10 & 29,20 \\
- $\beta_2$ & 0,89 & 18,55 & 1,05 & 6,41 & 0,14 & 21,86 \\
- $\beta_3$ & 0,49 & 1,11 & -0,06 & -0,05 & -0,33 & -17,53 \\
- $\beta_4$ & -0,45 & -3,69 & -0,32 & -0,90 & 0,04 & 33,41 \\
- $\gamma_0$ & -2,58 & -5,08 & -2,58 & -5,08 & -2,59 & -5,09 \\
- $\gamma_1$ & 0,98 & 3,00 & 0,98 & 3,00 & 1,00 & 3,04 \\
- $\gamma_2$ & 1,25 & 5,60 & 1,25 & 5,60 & 1,26 & 5,61 \\
- $\gamma_3$ & -0,93 & -1,05 & -0,93 & -1,05 & -0,93 & -1,06 \\
- $\gamma_4$ & -0,41 & -1,41 & -0,41 & -1,41 & -0,41 & -1,41 \\
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
@@ -1969,8 +2089,8 @@ parte das contagens não nulas.
\end{table}
Nos efeitos estimados para a parte da modelagem dos valores não nulos
-têm-se algumas diferenças consideráveis. Destaca-se que o valor das
-estimativas dos modelos Poisson e Binomial Negativo são comparáveis
+têm-se algumas diferenças consideráveis. Destaca-se que as estimativas
+dos parâmetros dos modelos Poisson e Binomial Negativo são comparáveis
entre si, pois modelam a média da distribuição, mas não comparáveis com
as estimativas do modelo COM-Poisson, pois este modela um parâmetro que
não representa, diretamente, a média. Contudo, independente da
@@ -1978,20 +2098,25 @@ distribuição o sinal dos efeitos deve ser o mesmo. Isso não ocorre nas
estimativas dos parâmetros $\beta_3$, positiva no modelo Poisson e
negativa nos demais e $\beta_4$, positiva no modelo COM-Poisson e
negativa nos demais. Porém, esses efeitos não tem impacto significativo
-para definição dos parâmetros das distribuições, conforme visto na
-figura \ref{fig:pred-fish} que exibe as médias calculadas com base nas
-três formulações. A seguir uma discussão sobre os valores apresentados
-para os erros padrão dessas estimativas é feita.
-
-Calculando a magnitude desses efeitos quando escalonados pelo seu erro
-padrão, obtido pelo negativo do inverso da matriz hessiana, há
-diferenças substanciais. O modelo COM-Poisson indica erros padrões das
+para definição dos parâmetros das distribuições, conforme pode ser visto
+na \autoref{fig:pred-fish}, que exibe as médias calculadas com base nas
+três formulações. A seguir uma discussão sobre os erros padrão dessas
+estimativas é feita.
+
+Considerando a magnitude dos efeitos estimados nos modelos Hurdle,
+quando escalonados pelo seu erro padrão, obtido pelo negativo do inverso
+da matriz hessiana, há diferenças substanciais entre o Poisson, Binomial
+Negativo e COM-Poisson. O modelo COM-Poisson indica erros padrões das
estimativas muito menores que os apresentados no modelo Binomial
Negativo. Sob investigações do problema, encontrou-se que este resultado
se deve por inconsistências no procedimento numérico para determinação
da matriz hessiana por diferenças finitas no modelo
COM-Poisson. Portanto, os erros padrão sob o modelo COM-Poisson
-apresentados estão incorretos.
+apresentados estão incorretos. Essa impossibilidade para realização de
+testes do tipo Wald no modelo Hurdle COM-Poisson foi particular da
+análise desse conjunto de dados, uma possÃvel causa seja a notável
+superdispersão das contagens não nulas, $\hat{\theta}=$\Sexpr{coHB[1,1]}
+e $\hat{\phi}=$\Sexpr{coHC[1,1]}.
<<pred-fish, fig.height=4, fig.width=6.5, fig.cap="Valores preditos do número de peixes capturados considerando o número de crianças e pessoas no grupo e a presença de um campista.">>=
@@ -2081,8 +2206,8 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
Embora tenha-se constatado problemas nos algoritmos numéricos para
determinar a curvatura da log-verossimilhança, as estimativas pontuais
-são coerentes com os demais modelos, conforme visto na figura
-\ref{fig:pred-fish} onde são apresentadas as médias calculadas com
+são coerentes com os demais modelos, conforme visto na
+\autoref{fig:pred-fish} onde são apresentadas as médias calculadas com
base nos três modelos estudados. Observa-se em todos os modelos a mesma
tendência.
@@ -2112,6 +2237,7 @@ f2 <- nema ~ log(off) + (1|cult)
m1PM <- glmer(f1, data = nematodes, family = poisson)
m2PM <- glmer(f2, data = nematodes, family = poisson)
+##-------------------------------------------
## ## Ajuste dos mixed COM-Poisson
## m1CM <- mixedcmp(f1, data = nematodes, sumto = 50)
## m2CM <- mixedcmp(f2, data = nematodes, sumto = 50)
@@ -2121,21 +2247,21 @@ load("mixedcmp_models.rda")
Nessa última aplicação apresentada no trabalho a extensão dos modelos de
contagem para inclusão de efeitos aleatórios é ilustrada. Os modelos em
-competição são o Poisson e o COM-Poisson com efeitos aleatórios. O
-conjunto de dados se refere ao número de nematoides em cultivares
-medidas em soluções \texttt{sol} compostas da massa fresca de raizes
-diluÃdas em água, mensuradas em gramas$ \cdot$ ml$^{-1}$ conforme
-apresentado na seção \ref{sec:nematodes}. Considera-se para os modelos
+considerados para análise são o Poisson e o COM-Poisson com efeitos
+aleatórios. O conjunto de dados se refere ao número de nematoides,
+mensurados em soluções (\texttt{sol}) compostas da massa fresca de
+raizes diluÃdas em água, para diferentes cultivares, conforme
+apresentado na \autoref{sec:nematodes}. Considera-se para os modelos
em competição, os seguintes preditores:
\noindent
-Preditor 2: $g(\mu) = \beta_0 + b_j$ \\
+Preditor 1: $g(\mu) = \beta_0 + b_j$ \\
Preditor 2: $g(\mu) = \beta_0 + \beta_1 \log(\textrm{sol})_i + b_j$
\noindent
em que $i = 1, 2, \cdots, \Sexpr{nrow(nematodes)}$ (número de
observações) e $j$ varia nos nÃveis da cultivar de feijão ($j =$ A, B,
-C, $\cdots$, S representando o efeito aleatório, realização de uma
+C, $\cdots$, S) representando o efeito aleatório, realização de uma
variável aleatória Normal de média 0 e variância $\sigma^2$. Assim, nos
modelos propostos têm-se a variabilidade entre as cultivares explicada
por uma distribuição Normal e a variabilidade dentro das cultivares
@@ -2159,29 +2285,27 @@ tab <- data.frame(
rbind(cbind(anP, cbind(c(NA, NA)), c(NA, NA)),
cbind(anC, phi, pvs)))
-## digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, -2, 2, -2)
-## xtable(tab, digits = digits)
+digits <- c(1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 4, 3, 4)
@
O ajuste dos modelos com a inclusão de efeitos aleatórios requer a
solução de uma integral que, em geral, é resolvida numericamente. Isso
torna o procedimento de ajuste computacionalmente intensivo e bastante
-suscetÃvel a problemas numéricos. Para o ajuste dos modelos COM-Poisson
-de efeitos mistos algumas iterações do algoritmo de estimação propuseram
-valores para os parâmetros que resultaram em somas $Z(\lambda_i, \phi)$
-que não puderam ser representados pela máquina,
-\textit{overflow}. Porém, o algoritmo dispõe de procedimentos que evitam
-sua interrupção, propondo novos valores mesmo quando a função objetivo
-não puder ser calculada, alcançando o máximo da
-log-verossimilhança. Para o modelo Poisson de efeito aleatório
-utilizou-se das programações em R providas pelo pacote \texttt{lme4}
-\cite{Bates2015}, que trabalham com matrizes esparsas para os efeitos
-aleatórios e otimização em linguagem de baixo nÃvel, minimizando os
-problemas numéricos.
+suscetÃvel a problemas numéricos. Em algumas iterações durante o
+algoritmo de estimação dos parâmetros dos modelos COM-Poisson de efeitos
+mistos, os valores considerados para os parâmetros resultaram em somas
+$Z(\lambda_i, \phi)$ que não puderam ser representados pela
+máquina. Porém, o algoritmo dispõe de procedimentos que evitam sua
+interrupção, propondo novos valores mesmo quando a função objetivo não
+puder ser calculada, alcançando o máximo da log-verossimilhança. Para o
+modelo Poisson de efeito aleatório utilizou-se das programações em R
+providas pelo pacote \texttt{lme4} \cite{Bates2015}, que trabalham com
+matrizes esparsas para os efeitos aleatórios e otimização em linguagem
+de baixo nÃvel, minimizando os problemas numéricos.
Os resultados do ajuste para avaliação e comparação dos modelos são
-apresentados na tabela \ref{tab:ajuste-nematodes}. Os valores na tabela
+apresentados na \autoref{tab:ajuste-nematodes}. Os valores
indicam que os modelos Poisson e COM-Poisson se ajustaram de forma
equivalente, os valores da log-verossimilhança foram muito
próximos. Essa equivalência também é apontada pelos AIC's, que foram
@@ -2201,19 +2325,31 @@ significativo para explicação do número de nematoides.
\toprule
Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & \\
\midrule
- Preditor 1 & 2 & -237,20 & 478,40 & & & & & \\
- Preditor 2 & 3 & -234,66 & 475,32 & 5,07 & 1 & 2,43E-02 & & \\[0.3cm]
+<<tab-nematodes1, results="asis">>=
+
+print(xtable(tab[1:2, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
+ \specialrule{0em}{0.5em}{0em} %% Apenas para espaçamento
COM-Poisson & np & $\ell$ & AIC & 2(diff $\ell$) & diff np & P($>\rchi^2$) & $\hat{\phi}$ & P($>\rchi^2$) \\
\midrule
- Preditor 1 & 3 & -236,85 & 479,71 & & & & 0,15 & 4,06E-01 \\
- Preditor 2 & 4 & -233,86 & 475,72 & 5,99 & 1 & 1,44E-02 & 0,23 & 2,05E-01 \\
+<<tab-nematodes2, results="asis">>=
+
+print(xtable(tab[3:4, ], digits = digits),
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE)
+
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\begin{tablenotes}
\footnotesize
-\item np, número de parâmetros, diff $\ell$, diferença entre
- log-verossimilhanças,
- diff np, diferença entre o np.
+\item np, número de parâmetros; diff $\ell$, diferença entre
+ log-verossimilhanças; diff np, diferença entre o np.
\item Fonte: Elaborado pelo autor.
\end{tablenotes}
\end{table}
@@ -2231,39 +2367,24 @@ fonte.xy("Fonte: Elaborado pelo autor.")
Permanecendo com o segundo preditor, com o efeito do logaritmo da
solução, as estimativas dos parâmetros do modelo são apresentadas na
-tabela \ref{tab:coef-nematodes} em conjunto com seu erro padrão,
-calculado sob aproximação quadrática da verossimilhança, ou seja via
-inversão da matriz hessiana. Novamente, os resultados entre os modelos
-são similares. Lembre-se que, desta tabela o único resultado comparável
-diretamente é a razão entre estimativa e erro padrão do parâmetro
-$\beta_1$. O parâmetro $\sigma$ é a variância da distribuição dos
-efeitos aleatórios, que no modelo Poisson são somados aos efeitos fixos
-para composição de $\mu$ e na COM-Poisson para composição de
-$\lambda$. Outro resultado interessante dessa tabela é a estimativa do
-parâmetro $\phi$ da COM-Poisson, que positiva indica uma subdispersão
-moderada nesse conjunto de dados. Uma vantagem do modelo misto
-COM-Poisson é que pode-se distinguir a variabilidade da contagem com a
-variabilidade do efeito do grupo no experimento. Nesse exemplo tem-se
-uma variabilidade do efeito aleatório maior, $\sigma$ estimado no caso
+\autoref{tab:coef-nematodes}, em conjunto os erros padrão das
+estimativas, calculado sob aproximação quadrática da verossimilhança, ou
+seja via inversão da matriz hessiana. Novamente, os resultados dos
+modelos são similares. Lembre-se que, dessa tabela, o único resultado
+comparável diretamente é a razão entre estimativa e erro padrão do
+parâmetro $\beta_1$. O parâmetro $\sigma$ é a variância da distribuição
+dos efeitos aleatórios, que no modelo Poisson são somados aos efeitos
+fixos para composição de $\mu$ e na COM-Poisson para composição de
+$\lambda$. Outro resultado interessante é a estimativa do parâmetro
+$\phi$ da COM-Poisson que, positiva, indica uma subdispersão moderada
+nesse conjunto de dados. Uma vantagem do modelo misto COM-Poisson é que
+pode-se distinguir a variabilidade da contagem da variabilidade induzida
+pelo efeito do grupo no experimento. Nesse exemplo tem-se uma
+variabilidade do efeito aleatório maior, $\sigma$ estimado no caso
COM-Poisson maior que no caso Poisson, porém essa variabilidade extra
capturada pelo efeito aleatório é compensada pela subdispersão capturada
pelo parâmetro $\phi$.
-<<coef-nematodes, include=FALSE>>=
-
-tabMP <- rbind(lsigma = c(sqrt(VarCorr(m2PM)$cult), NA, NA),
- summary(m2PM)$coef[, -4],
- phi = c(NA, NA, NA))
-
-tabMC <- rbind(lsigma = c(exp(m2CM@coef[2]), NA, NA),
- summary(m2CM)@coef[-(1:2) ,-4],
- summary(m2CM)@coef[1 ,-4])
-
-## print(xtable(cbind(tabMP, tabMC), digits = 2),
-## include.rownames = TRUE)
-
-@
-
\begin{table}[ht]
\centering
\caption{Estimativas dos parâmetros e razões entre as estimativa e erro
@@ -2275,17 +2396,38 @@ tabMC <- rbind(lsigma = c(exp(m2CM@coef[2]), NA, NA),
\cmidrule(lr){2-4} \cmidrule(lr){5-7}
Parâmetro & Estimativa & E. Padrão & Est/EP & Estimativa & E. Padrão & Est/EP \\
\midrule
- $\sigma$ & 0,75 & & & 0,93 & & \\
- $\beta_0$ & 1,62 & 0,19 & 8,50 & 2,08 & 0,45 & 4,59 \\
- $\beta_1$ & 1,27 & 0,56 & 2,29 & 1,58 & 0,68 & 2,33 \\
- $\phi$ & & & & 0,23 & 0,18 & 1,33 \\
+<<coef-nematodes, results="asis">>=
+
+pnames <- paste0("$", c("\\phi", "\\sigma", "\\beta_0", "\\beta_1"), "$")
+
+tabMP <- rbind(
+ phi = c(NA, NA, NA),
+ lsigma = c(sqrt(VarCorr(m2PM)$cult), NA, NA),
+ summary(m2PM)$coef[, -4])
+
+tabMC <- rbind(
+ summary(m2CM)@coef[1 ,-4],
+ lsigma = c(exp(m2CM@coef[2]), NA, NA),
+ summary(m2CM)@coef[-(1:2) ,-4])
+
+tab <- cbind(tabMP, tabMC)
+rownames(tab) <- pnames
+
+print.xtable(xtable(tab),
+ include.rownames = TRUE,
+ include.colnames = FALSE,
+ hline.after = NULL,
+ only.contents = TRUE,
+ sanitize.text.function = function(x) x)
+
+@
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}
-Como resultados complementares a tabela \ref{tab:coef-nematodes}, tem-se
-os perfis de verossimilhança com intervalos de confianças de nÃveis 90,
-95 e 99\% apresentados na figura \ref{fig:prof-nematodes}. Observa-se um
+Como resultados complementares à \autoref{tab:coef-nematodes}, tem-se
+os perfis de verossimilhança com intervalos de confianças de nÃveis 99,
+95 e 90\% apresentados na \autoref{fig:prof-nematodes}. Observa-se um
comportamento razoavelmente simétrico para todos os parâmetros, apenas
com uma assimetria levemente destacada para o parâmetro $\beta_0$. Isso
traz mais segurança na interpretação dos resultados baseados na
@@ -2350,7 +2492,7 @@ parâmetros $\phi$, da distribuição considerada para a variável de
contagem condicional aos efeitos aleatórios e as covariáveis e $\sigma$,
da distribuição considerada para os efeitos aleatórios são conjuntamente
responsáveis pela explicação da variabilidade do processo em estudo. Na
-figura \ref{fig:corr-nematodes} apresentados as covariâncias entre os
+\autoref{fig:corr-nematodes} são apresentados as covariâncias entre os
parâmetros do modelo, na escala de correlação, a fim de verificar,
principalmente, a correlação entre $\sigma$ e $\phi$. Observa-se que,
conforme esperado, estes parâmetros apresentam uma forte correlação e
@@ -2359,17 +2501,17 @@ que não de forma acentuada. Nota-se também que a caracterÃstica de não
ortogonalidade entre os parâmetros de locação e $\phi$ se mantém com a
inclusão de efeitos aleatórios.
-Na figura \ref{fig:pred-nematodes} são apresentados as predições do
-efeito aleatório em cada modelo, à direita e as contagem preditas para
-cada cultivar e para o comportamento médio, à esquerda. A distribuição
+Na \autoref{fig:pred-nematodes} são apresentados as predições do efeito
+aleatório em cada modelo (à direita) e as contagem preditas para cada
+cultivar e para o comportamento médio (à esquerda). A distribuição
empÃrica dos efeitos aleatórios, gráfico à direita, está de acordo com
-os parâmetros estimados para $\sigma$, vistos na tabela
-\ref{tab:coef-nematodes}. Têm-se a ordenação dos efeitos aleatórios
+os parâmetros estimados para $\sigma$, vistos na
+\autoref{tab:coef-nematodes}. Têm-se a ordenação dos efeitos aleatórios
idêntica em ambos os modelos, porém valores mais dispersos no caso
COM-Poisson. Devido ao parâmetro adicional $\phi$ do modelo COM-Poisson,
-que indica subdispersão, tem-se os valores preditos por esse modelo muito
-similares aos preditos pelo modelo Poisson, conforme observa-se no
-gráfico à direita da figura \ref{fig:pred-nematodes}. A soma das
+que indica subdispersão, tem-se os valores preditos por esse modelo
+muito similares aos preditos pelo modelo Poisson, conforme observa-se no
+gráfico à direita da \autoref{fig:pred-nematodes}. A soma das
diferenças ao quadrado, entre valores preditos pelos dois modelos foi de
\Sexpr{sum((predCM$y - predPM$y)^2)}, o que mostra que ambos os modelos
levam ao mesmo resultado.
@@ -2391,7 +2533,7 @@ xy1 <- densityplot(
key <- list(
column = 1,
lines = list(lty = c(1, 2), lwd = c(3, 1)),
- text = list(c("Perfil Médio", "Perfil por cultivar")))
+ text = list(c("Perfil médio", "Perfil por cultivar")))
## Faz o gráfico
nematodes2 <- rbind(nematodes, nematodes)
@@ -2440,7 +2582,7 @@ Nos quatro primeiros conjuntos de dados, em que modelou-se as contagens
via modelos de regressão de efeitos fixos, observou-se resultados dos
modelos COM-Poisson equivalentes a abordagem semi-paramétrica via
quasi-verossimilhança, quanto a significância dos efeitos e predição com
-bandas de confiança. Porém ressalta-se que na abordagem por
+bandas de confiança. Porém, ressalta-se que na abordagem por
quasi-verossimilhança, com a especificação de apenas dois momentos, i)
não se pode representar a distribuição de probabilidades da variável em
estudo, ii) a informação a respeito da média é igual ou inferior a uma
@@ -2449,13 +2591,13 @@ excesso de zeros e modelagem do parâmetro de dispersão não são
imediatas. Nos casos de superdispersão explorou-se também os resultados
dos modelos baseados na distribuição Binomial Negativa e nessa abordagem
tem-se o inconveniente de somente a caracterÃstica de superdispersão ser
-contemplada. Nos estudos de caso os modelos Binomial Negativo
+contemplada. Nos estudos de caso, os modelos Binomial Negativo
proporcionaram resultados, com relação a significância dos efeitos,
-equivalentes ao COM-Poisson e Quasi-Poisson. Porém, em um dos estudos de
-caso com acentuada superdispersão, os valores preditos pontuais e
-intervalares nessa abordagem diferiram dos modelos COM-Poisson e
-Quasi-Poisson, isso devido a forma da relação média e variância dessa
-distribuição, figura \ref{fig:mv-binomneg}.
+equivalentes ao COM-Poisson e Quasi-Poisson. Porém, em um dos estudos
+com acentuada superdispersão, os valores preditos pontuais e
+intervalares obtidos do modelo Binomial Negativo, diferiram dos modelos
+COM-Poisson e Quasi-Poisson, isso devido a forma da relação média e
+variância dessa distribuição, \autoref{fig:mv-binomneg}.
Nas extensões propostas para o modelo COM-Poisson obteve-se resultados
satisfatórios. No caso da inclusão de um componente de barreira para
@@ -2470,26 +2612,26 @@ em que acomoda-se efeitos aleatórios, os procedimentos
computacionalmente intensivos que são empregados no algoritmo de
estimação ganham destaque. A aplicação se deu a um experimento que
apresentou contagens com um grau não significativo de
-subdispersão. Nessa aplicação os modelos em competição foram o Poisson e
-o COM-Poisson de efeitos mistos e todos os resultados em questões
-inferenciais foram equivalentes em ambos os modelos, com poder de teste
-maior para o modelo COM-Poisson.
+subdispersão. Nessa aplicação os modelos empregados foram o Poisson e o
+COM-Poisson de efeitos mistos e todos os resultados em questões,
+inferenciais, foram equivalentes em, mas com poder de teste maior para o
+modelo COM-Poisson.
Nas aplicações, em geral, pode-se notar caracterÃsticas que permearam a
todos os modelos baseados na distribuição COM-Poisson. A primeira delas,
e talvez a mais difÃcil de se contornar, é a determinação da constante
de normalização, pois essa depende do parâmetro que está associado a um
-preditor linear assim deve-se calcular $n$ constantes a cada iteração
+preditor linear, assim deve-se calcular $n$ constantes a cada iteração
do algoritmo de estimação. Em casos de contagens altas e superdispersão
o cálculo dessa constante é extremamente demorado. Outra caracterÃstica
que se manisfestou em todas as aplicações foi a não ortogonalidade entre
os parâmetros de regressão e o parâmetro adicional $\phi$, observada
-pelas correlações calculadas a partir da matriz hessiana. O que torna as
+pelas correlações calculadas a partir da matriz hessiana, o que torna as
inferências dependentes. Em pesquisas não relatadas nesse trabalho
verificou-se que a reparametrização do parâmetro $\lambda$, adotando a
-aproximação para média contorna essa caracterÃstica com o preço de se
+aproximação para média, contorna essa caracterÃstica com o preço de se
ter uma distribuição aproximada. Nas aplicações explorou-se também os
perfis de verossimilhança para o parâmetro $\phi$ da COM-Poisson e o
-comportamento aproximadamente simétrico em todos casos induz que
+comportamento aproximadamente simétrico, em todos casos, induz que
aproximações quadráticas da verossimilhança podem ter desempenhos
satisfatórios.
diff --git a/docs/cap05_consideracoes-finais.Rnw b/docs/cap05_consideracoes-finais.Rnw
index 81e58dc6fddee97b9576209fe96fdc1ef650c511..ada799a81396919fac07fc99b67c9e29715706eb 100644
--- a/docs/cap05_consideracoes-finais.Rnw
+++ b/docs/cap05_consideracoes-finais.Rnw
@@ -3,46 +3,48 @@
% ------------------------------------------------------------------------
Os objetivos nesse trabalho foram a exploração, extensão e aplicação da
-distribuição COM-Poisson na análise de dados de contagem cujo foram
+distribuição COM-Poisson na análise de dados de contagem, cujo foram
atendidos com a apresentação de seis aplicações dos modelos COM-Poisson
-à conjuntos de dados reais que exibem equidispersão, subdispersão,
+a conjuntos de dados reais que exibem equidispersão, subdispersão,
superdispersão, contagens altas, excesso de zeros e efeito aleatório,
mostrando a flexibilidade do modelo COM-Poisson.
Das análises realizadas destaca-se a caracterÃstica restritiva do modelo
-Poisson, que na maioria dos casos não se ajustou adequadamente devido a
+Poisson, que na maioria dos casos não se ajustou adequadamente devido Ã
suposição de equidispersão. Para os modelos de regressão de efeitos
fixos, os resultados obtidos com as abordagens via modelo COM-Poisson,
Quasi-Poisson e Binomial Negativo (para os casos de superdispersão)
-foram bastante similares quanto a significância dos efeitos e predição
+foram bastante similares quanto à significância dos efeitos e predição
com bandas de confiança. Resultados satisfatórios também foram obtidos
-para nos modelos COM-Poisson para modelagem de excesso de zeros e
+nos modelos COM-Poisson com modelagem de excesso de zeros e
inclusão de efeitos aleatórios. Nessas extensões, há dificuldade
-computacional de ajuste dos modelos, principalmente devido ao cálculo
+computacional para ajuste dos modelos, principalmente devido ao cálculo
das constantes de normalização, que mesmo nos modelos de efeitos fixos
-ainda são problemáticas.
+se mostram como dificuldades a serem superadas.
-Em todas as aplicações observou-se a não ortonalidade empÃrica na matriz
-hessiana, o que se mostra como caracterÃstica da distribuição. Outra
-caracterÃstica observada na análise de dados é a simetria nos perfis de
-verossimilhança para o parâmetro $\phi$, indicando que aproximações
-quadráticas da verossimilhança podem ter bons desempenhos.
+Em todas as aplicações observou-se a não ortonalidade empÃrica, via
+matriz hessiana, o que se mostra como caracterÃstica da
+distribuição. Outra caracterÃstica observada na análise de dados é a
+simetria nos perfis de verossimilhança para o parâmetro $\phi$,
+indicando que aproximações quadráticas da verossimilhança podem ter bons
+desempenhos.
De forma geral, sugere-se a aplicação dos modelos COM-Poisson na análise
-de dados de contagem, pois devido a sua flexibilidade, seus resultados
+de dados de contagem, pois devido à sua flexibilidade, seus resultados
se equivalem a abordagem semi-paramétrica via quasi-verossimilhança,
porém com todos os benefÃcios da inferência totalmente paramétrica.
Dado o escopo do trabalho foram vários os tópicos levantados para
pesquisas futuras. Estudo de reparametrizações que tornem os parâmetros
$\lambda$ e $\nu$ ortogonais no modelo COM-Poisson podem ser de grande
-valia, pois tornaram as inferências entre eles independentes, além de
+valia, pois tornarão as inferências entre eles independentes, além de
possivelmente permitir a fatoração da verossimilhança com estimação
concentrada. Para acelerar o algoritmo de estimação aproximações da
constante normalização podem resultar em ajustes satisfatórios. Estudos
de simulação para verificar a robustez do modelo à má especificação da
distribuição da variável resposta. Implementação da modelagem de excesso
-de zeros via mistura de distribuições. Inclusão de efeitos aleatórios
-dependentes no modelo misto COM-Poisson. São algumas das muitas
-possibilidades para pesquisa envolvendo dados de contagem subdispersos
-ou superdispersos modelados com a distribuição COM-Poisson.
+de zeros via mistura de distribuições. Expansão do modelo misto
+COM-Poisson com diferentes fontes de efeito aleatório e efeitos
+aleatórios dependentes. São algumas das muitas possibilidades para
+pesquisa envolvendo dados de contagem subdispersos ou superdispersos
+modelados com a distribuição COM-Poisson.
diff --git a/docs/capA_codigostcc.Rnw b/docs/capA_codigostcc.Rnw
index 98fd5b98732eea39ddf92add0d75dab222ac7c92..3f6c173f66b5caa93b402d7f59c1c31f2ab73c65 100644
--- a/docs/capA_codigostcc.Rnw
+++ b/docs/capA_codigostcc.Rnw
@@ -5,7 +5,7 @@
Todos os resultados apresentados são realizados com o \textit{software}
R, cujo códigos para ajuste dos modelos COM-Poisson de efeito fixo,
aleatório e com componente de barreira foram disponibilizados em formato
-de pacote no endereço \url{github.com/jreduardo/tccPackage}. Nesse
+de pacote no endereço \url{github.com/jreduardo/cmpreg}. Nesse
apêndice são apresentados os códigos, que utilizam as funções do pacote,
para produzir os resultados da seção \ref{sec:analise-cottonBolls2}
(modelos de regressão de efeitos fixos). Todavia, os códigos que
@@ -15,15 +15,15 @@ visualizados no complemento online
<<code-cottonBolls2, echo=TRUE, eval=FALSE>>=
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-## Instalando o pacote tccPackage, elaborado no trabalho
+## Instalando o pacote cmpreg, elaborado no trabalho
library(devtools)
-install_git("git@github.com:JrEduardo/tccPackage.git")
+install_git("git@github.com:JrEduardo/cmpreg.git")
##----------------------------------------------------------------------
## Análise de dados apresentados na seção ... (v.a. número de nós)
## Carrega o pacote no workspace
-library(tccPackage)
+library(cmpreg)
## Dados
data(cottonBolls2)