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Eduardo E. R. Junior
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a2f27b75
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a2f27b75
authored
9 years ago
by
Eduardo E. R. Junior
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@@ -951,3 +951,97 @@ direita no ponto $y=1$ para estimação desta probabilidade, como explicam
\section{Modelos de efeitos aleatórios}
\label{cap02:aleatorio}
Nas seções anteriores exploramos modelos que flexibilizam algumas
suposições do modelo Poisson. Basicamente pertimindo casos não
equidispersos e modelando conjuntamente um processo gerador de zeros
extra. Contudo uma suposição dos modelos de regressão para dados de
contagem vistos até aqui é que as variáveis aleatória $Y_1, Y_2, \cdots,
Y_n$ são condicionalmente indenpendentes, dado o vetor de
covariáveis. Porém não são raras as situações em que essa suposição não
se mostra adequada. \citeonline{Ribeiro2012} cita alguns exemplos:
\begin{itemize}
\item as observações podem ser correlacionadas no espaço,
\item as observações podem ser correlacionadas no tempo,
\item interações complexas podem ser necessárias para modelar o efeito
conjunto de algumas covariáveis,
\item heterogeneidade entre indivíduos ou unidades podem não ser
suficientemente descrita por covariáveis.
\end{itemize}
Nessas situações pode-se estender a classe de modelos de regressão
com a adição de efeitos aleatórios que incorporam variáveis não
observáveis (latentes) ao modelo, permitindo assim acomodar uma
variabilidade, que pode ser ou não estruturada, não prescrita pelo
modelo. De forma geral a especificação dos modelos de efeitos aleatórios
segue uma especificação hierárquica
\begin{equation}
\label{eqn:reg-misto}
\begin{split}
Y_{ij} \mid b_{i},& X_{ij} \sim \textrm{D}(\mu_{ij}, \phi) \\
g(&\mu_{ij}) = X_{ij}\beta + Z_ib_i \\
& b \sim \textrm{K}(\Theta_b)
\end{split}
\end{equation}
\noindent
para $i = 1, 2, \cdots, m$ (grupos com efeitos aleatórios comuns) e $j =
1, 2, \cdots, n$ (observações) com D$(\mu_{ij}, \phi)$, uma distribuição
considerada para as variáveis resposta condicionalmente independentes,
$g(\mu_{ij})$ uma função de ligação conforme definada na teoria dos
MLG's, $X_{ij}$ e $Z_{i}$ as vetores conhecidos representando os efeitos
das covariáveis de interesse, $b_i$ uma quantidade aleatória provida de
uma distribuição K$(\Theta_b)$. Note que nesses modelos uma quantidade
aleatória é somada ao preditor linear, diferentemente dos modelos de
efeitos fixos e a partir desta quantidade é possível induzir um
comportamento correlato entre as observações.
Como temos duas quantidades aleatórias no modelo, $Y \mid X$ e $b$, a
verossimilhança para um modelo de efeito aleatório é dada integrando-se
os efeitos aleatórios
\begin{equation}
\label{eqn:loglik-misto}
\Ell(\beta, \phi, \Theta_b \mid \underline{y}) = \prod_{i=1}^m \int_{\R^q}
\left ( \prod_{j=1}^{n_i} f_D(y_{ij}, \mu, b_i)\right ) \cdot f_K(b
\mid \Theta_b) db_i
\end{equation}
Perceba que na avaliação da verossimilhança é necessário o cálculo de
$m$ integrais de dimensão $q$. Para muitos casos essa integral não tem
forma analítica sendo necessários métodos númericos de aproximação, que
são discutidos na seção \ref{cap03:metodos}. E as estimativas de máxima
verossimilhança são
$$
\hat{\Theta} = (\hat{\beta}, \hat{\Theta_b}) =
\underset{(\beta,\,\Theta_b)}{\textrm{arg max }} \log(\Ell(\beta, \phi,
\Theta_b \mid \underline{y}))
$$
\noindent
note que no processo de estimação dos modelos de efeitos aleatórios,
métodos numéricos são intensivamente utilizados, pois a cada iteração do
algoritmo de maximização da log-verossimilhança $m$ integrais de
dimensão $q$ são aproximadas, ou seja, métodos de aproximação de
integrais são utilizados concomitantemente ao método de maximização.
Em modelos de contagem de efeitos mistos é comum adotar como
distribuição para os efeitos aleatórios uma Normal $q$-variada com média
0 e matriz de variância e covariâncias $\Sigma$, ou seja, na
especificação \ref{eqn:reg-misto} K$(\Theta_b) = NMV_q(0, \Sigma)$. Para
estes casos os principais métodos de aproximação da integral tem
desempenhos melhores \cite{Bates2015}.
Como mencionado anteriormente modelos de efeitos aleatórios são
candidatos a modelagem de dados superdispersos. Quando não há uma
estrutura de delineamento experimental ou observacional pode-se incluir
efeitos aleatórios a nível de observação (e então $m=n$, ou seja, os
vetores $Y$ e $b$ tem mesma dimensão). Casos particulares de modelos de
efeitos aleatórios, onde o efeito aleatório é adiciona a nível de
observação são o modelo Binomial Negativo e o \textit{Inverse Gaussian
Model}, em ambos os casos a integral, definida em
\ref{eqn:loglik-misto} tem solução analítica e consequentemente a
marginal em $Y$ forma fechada.
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