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% CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
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+Em diversas áreas do conhecimento é comum o interesse em i) compreender
+o relacionamento entre variáveis de interesse e características de uma
+amostra e ii) realizar predições por meio de modelos estatísticos
+ajustados por dados de uma amostra. A teoria de modelos de regressão
+sustentam muitas das pesquisas na área de Estatística aplicada.
+
+Os modelos de regressão, na sua forma univariada e usual, consistem no
+estabelecimento de uma equação matemática que relaciona a média de uma
+variável aleatória de interesse (variável resposta) com as demais
+variáveis aleatórias observadas (covariáveis). Nesta metodologia
+considera-se uma distribuição de probabilidades para a variável resposta
+condicionada as covariáveis cuja a média está associada a uma preditor
+que acomoda os efeitos das variáveis independentes.
+
+Podemos destacar o modelo linear normal como o modelo predominante
+dentre as análises estatísticas aplicadas. Esse modelo estabelece que a
+variável resposta condicional as covariáveis têm distribuição Normal de
+média descrita por um preditor linear das covariáveis. Todavia, não são
+raras as situações me que a variável resposta se apresenta na forma de
+contagens, assumindo valores inteiros não negativos. Variáveis
+aleatórias de contagem, de forma geral, representam o número de
+ocorrências de um evento em um domínio específico que pode ser contínuo,
+como um intervalo de tempo ou espaço, ou discreto, como indivíduos ou
+grupos.
+
+A análise de dados de contagem pelo modelo linear normal produz
+estimativas que contêm erros padrões inconsistentes e podem produzir
+predições negativas para o número de eventos \cite{King1989}. Uma
+alternativa adotada durante muitos anos, e ainda aplicada, é encontrar
+alguma forma de transformação da variável resposta a fim de atender aos
+pressupostos do modelo de regressão normal. Contudo essa abordagem
+dispõe de resultados insatisfatórios, pois i) dificulta a intepretação
+dos resultados, ii) não contempla a natureza da variável (ainda serão
+valores pontuais, só que em outra escala) iii) não contempla a relação
+média e variância, característica de dados de contagem e iv) no uso da
+transformação logarítmica é problemática quando há contagens nulas.
+
+Diante do problema diferentes abordagens foram propostas, contudo
+destaca-se o trabalho apresentado por \citeonline{Nelder1972} que
+introduz a teoria dos modelos lineares generalizados (MLG's). Esta nova
+classe de modelos flexibilizou a distribuição condicional associada
+permitindo outras distribuições pertencentes à família exponencial de
+distribuições. Tal família contempla as distribuições Poisson, Binomial,
+Gama entre outras bem conhecidas na literatura, além da própria
+distribuição Normal.
+
+Com os MLG's a modelagem de dados passou a ser mais fiel a natureza da
+variável resposta, principalmente no que diz respeito ao seu
+suporte. Neste contexto, a análise de variáveis aleatórias de contagem,
+que têm suporte nos conjunto dos números naturais, foi enriquecida
+expressivamente.
+
+Para análise estatística dessas variáveis, temos o modelo probabilístico
+de Poisson, já consolidado na literatura e amplamente utilizado. Este
+modelo possui apenas um parâmetro, denotado por $\lambda$, que
+representa a média e também a variância, o que implica em uma relação
+identidade ($\lambda = E[Y] = V[Y]$). Essa propriedade, chamada de
+equidispersão, é uma particularidade do modelo Poisson que pode não ser
+adequada a diversas situações. Quando aplicado sob negligência desta
+suposição, o modelo Poisson apresenta erros padrões inconsistentes para
+as estimativas dos parâmentros e por consequência, para toda função
+desses parâmetros \cite{Winkelmann1995, Winkelmann1994}.
+
+O caso de superdispersão, quando a variância é maior que a média, é o
+mais comum e tem uma gama de métodos para análise mais extensa. A
+superdispersão pode ocorrer pela ausência de covariáveis importantes,
+excesso de zeros, diferentes amplitudes de domínio (\textit{offset}) não
+consideradas, heterogeneidade de unidades amostrais, entre outros
+\cite{RibeiroJr2012}. Para tais casos uma abordagem é a adoção de
+modelos com efeitos aleatórios que capturam a variabilidade extra. Um
+caso particular dos modelos Poisson de efeitos aleatórios, muito adotado
+no campo aplicado da Estatística, ocorre quando consideramos
+distribuição Gama para os efeitos aleatórios, nesta situação temos
+expressão fechada para a função de probabilidade marginal, que assume a
+forma Binomial Negativa.
+
+Outra manifestação de fuga da suposição de equidispersão é a
+subdispersão, situação menos comum na literatura. Os processos que
+reduzem a variabilidade das contagens, abaixo do estabalecido pela
+Poisson, não são tão conhecidos quanto os que produzem variabilidade
+extra. Pela mesma razão, são poucas as abordagens descritas na
+literatura que capazes de tratar a subdispersão, uma vez que efeitos
+aleatórios só capturam a variabilidade extra. Podemos citar os modelos
+de quasi-verossimilhança como a abordagem mais utilizada. Todavia não é
+possível recuperar a verdadeira distribuição da variável resposta nessa
+abordagem pois a modelagem é baseada apenas nos dois primeiros momentos
+da distribuição condicional \cite{Paula2013}.
+
+<<processo-pontual, fig.cap="Ilustração de diferentes tipos de processos pontuais. Da direita para esquerda temos processos sob padrões aleatório, aglomerado e uniforme", fig.height=3, fig.width=7>>=
+
+mygrid <- expand.grid(xc = 1:3, yc = 1:3)
+mygrid <- data.frame(mygrid)
+sp::coordinates(mygrid) <- ~xc + yc
+
+set.seed(20124689)
+equi <- sp::spsample(mygrid, n = 100, type = "random")
+over <- sp::spsample(mygrid, n = 100, type = "clustered", nclusters = 20)
+## unde <- sp::spsample(mygrid, n = 100, type = "aligned")
+unde <- sp::spsample(mygrid, n = 100, type = "stratified")
+
+coords <- sapply(list("equi" = equi, "over" = over, "unde" = unde),
+ function(x) {
+ colnames(x@coords) <- c("x", "y")
+ x@coords
+ })
+da <- plyr::ldply(coords, .id="caso")
+
+library(latticeExtra)
+col <- trellis.par.get("superpose.line")$col[1]
+xyplot(y ~ x | caso, data = da,
+ layout = c(NA, 1),
+ as.table = TRUE,
+ pch = 19,
+ scales = list(draw = FALSE),
+ xlab = "",
+ ylab = "",
+ strip = strip.custom(
+ factor.levels = c("Equidispersão",
+ "Superdispersão",
+ "Subdispersão")
+ ),
+ panel = function(x, y, subscripts, ...) {
+ l <- seq(min(x), max(x), length.out = 10)
+ panel.abline(h = l, v = l, col = col, lty = 2)
+ panel.xyplot(x, y, ...)
+ })
+
+@
+
+A figura \ref{fig:processo-pontual} ilustra, sob um contexto espacial de
+duas dimensões, a ocorrência das características de equi, super e
+subdispersão respectivamente. Nesta figura cada ponto representa a
+ocorrência de uma variável aleatória e cada parcela, delimitada pelas
+linhas pontilhadas, representa o intervalo no espaço cujo contabiliza-se
+as ocorrências.No painel da esquerda temos a representação de dados de
+contagem equidispersos, neste cenário temos que as ocorrências da
+variável aleatória se dispõem aleatoriamente. No painel central o padrão
+já se altera, temos a representação do caso de superdispersão. Note que
+neste cenário formam-se aglomerados que deixam parcelas co contagens
+mutio elevadas e parcelas com contagens baixas. Uma possível causa deste
+padrão se dá pelo processo de contágio (e.g. contagem de casos de uma
+doença contagiosa, contagem de frutos apodrecidos). Na terceiro e último
+painel temos o caso de subdispersão, em que as ocorrências se dispõe
+uniformemente no espaço. Note agora que as contagens de ocorrências nas
+parcelas variam bem pouco. Ao contrário do caso superdisperso uma causa
+provável seria o oposto de contágio, a repulsa, ou seja, uma ocorrência
+causa a repulsa de outras ocorrências em seu redor (e.g. contagem de
+árvores, contagem de animais).
+
+Outra alterativa paramétrica que contempla os casos de equi, super e
+subdispersão é a adoção de uma distribuição mais flexível para a
+variável resposta condicional as covariáveis. A distribuição COM-Poisson
+surgiu anteriormente à formalização dos MLG's, proposta por
+\citeonline{Conway1962} a COM-Poisson (nome em em homenagem aos seus
+autores Richard W. Conway, William L. Maxwell,
+\textbf{Co}nway-\textbf{M}axwell-Poisson) generaliza a distribuição
+Poisson com a adição de mais uma parâmetro, denotado por $\nu$, que
+torna a razão de probabilidades sussecivas não linear contemplando os
+casos de sub e superdispersão \cite{Shmueli2005}.
+
+Uma característica bastante relevante é que a COM-Poisson possui como
+casos particulares as distribuições Poisson, Geométrica e
+Binomial. Portanto, empregando a COM-Poisson como distribuição
+condicional associada, obtemos um modelo de regressão sem a imposição de
+equidispersão. Tal flexibilidade, considerando o amplo uso do modelo
+Poisson, significa que a COM-Poisson pode ser aplicada nessas situações
+e será especialmente importante naquelas onde há fuga da equidispersão.
+
+Pela similaridade da função de distribuição COM-Poisson com a Poisson,
+vários aspectos podem ser estendidos. Por exemplo, há situações em que o
+delineamento do experimento sugere uma estrutura de covariância entre
+observações induzidas por um processo hierárquico de casualização ou
+amostragem. São casos assim os experimentos em parcelas subdivididas e
+experimentos com medidas repetidas ou longitudinais. Tais estruturas
+estabelecem modelos com efeitos não observáveis que agem no nível de
+observação ou unidade experimental e isso pode ser incorporado no modelo
+de regressão COM-Poisson com a inclusão de efeitos aleatórios. Da mesma
+forma, excesso de zeros pode ser introduzido a essa distribuição da
+mesma maneira que ocorre para o modelo Poisson, através de truncamento
+(modelos Hurdle) ou inflação (modelos de mistura)
+\cite{Sellers2016}. Estas extensões para o modelo COM-Poisson ainda não
+são bem consolidadas na literatura e são escassas suas aplicações. Uma
+constatação do fato é que não há implementações destas extensões nos
+principais softwares estatísticos.
+
+Na literatura brasileira, aplicações do modelo COM-Poisson são
+escassas. Foram encontradas apenas aplicações na área de Análise de
+Sobrevivência, mais especificamente em modelos com fração de cura
+\cite{Ribeiro2012, Borges2012}. Portanto, o presente trabalho visa
+colaborar com a literatura estatística brasileira i) apresentando e
+explorando o modelo de regressão COM-Poisson para dados de contagem, ii)
+estendendo as aplicações desse modelo COM-Poisson para situações
+específicas como inclusão de efeitos aleatórios e modelagem de excesso
+de zeros, iii) discutindo os aspectos inferenciais por meio de análise
+de dados reais e iv) disponibilizando os recursos computacionais, em
+formato de pacote R, para ajuste dos modelos apresentados. Nas
+aplicações optou-se também pela análise via modelos já disponíveis para
+as situações estudas.
+
+O trabalho é organizado em cinco capítulos. Esse primeiro capítulo visa
+enfatizar as características das variáveis aleatórias de contagem e suas
+lacunas que podem ser complementadas na análise estatística dessas
+variáveis. O capítulo \ref{cap:modelos-para-dados-de-contagem} é
+dedicado a revisão bibliográfica dos modelos estatísticos empregados a
+análise de dados de contagem, nesse capítulo os modelos Poisson,
+Binomial Negativo, as abordagens para excesso de zeros, a estrutura dos
+modelos de efeitos aleatórios e o modelo COM-Poisson são
+apresentados. No capítulo \ref{cap:material-e-metodos} apresentammos os
+conjuntos de dados a serem analisados e os métodos para ajuste e
+comparação dos modelos. O capítulo \ref{cap:resultados-e-discussao} traz
+os os principais resultados da aplicação e comparação dos modelos
+estatísticos com ênfase nas discussões sob aspectos inferenciais
+empíricos. Finalmente no capítulo \ref{cap:consideracoes-finais} são
+apresentadas as considerações finais obtidas desse trabalho e listados
+algumas possíveis linhas de pesquisa para estudos futuros.