From 060df99f5d19129c54a1d83ef40785fb0fc0a33a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Walmes Zeviani <walmes@ufpr.br>
Date: Sun, 15 May 2016 20:27:08 -0300
Subject: [PATCH] Adiciona slides da poisson generalizada.
---
inst/slides/poisson_generalizada.Rnw | 165 +++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 165 insertions(+)
create mode 100644 inst/slides/poisson_generalizada.Rnw
diff --git a/inst/slides/poisson_generalizada.Rnw b/inst/slides/poisson_generalizada.Rnw
new file mode 100644
index 0000000..1deecc8
--- /dev/null
+++ b/inst/slides/poisson_generalizada.Rnw
@@ -0,0 +1,165 @@
+<<setup-child, include=FALSE>>=
+set_parent("slides-mrdcr.Rnw")
+@
+
+\begin{frame}{A distribuição de probabilidade}
+ \begin{itemize}
+ \item Introduzida por \cite{ConsulJain1997} e estudada em detalhes por
+ \cite{Consul1989}
+ \item Modela casos de superdispersão e subdispersão.
+ \item A Poisson é um caso particular.
+ \item Se $Y \sim $ Poisson Generalizada,
+ sua função de probabilidade é
+ \begin{equation*}
+ f(y) =
+ \begin{cases}
+ \theta (\theta + \gamma y)^{y - 1}
+ \exp\{-(\theta + \gamma y)\}, &
+ y = 0, 1, 2, \ldots \\
+ 0, &
+ y > m \text{ quando } \gamma < 0.
+ \end{cases}
+ \end{equation*}
+ \item $\theta > 0$.
+ \item $\max\{-1, -\theta/m\} < \gamma < 1$.
+ \item $m$ é maior inteiro positivo para o qual $\theta + m\gamma >
+ 0$ quando $\gamma$ é negativo.
+ \item {Note que o espaço paramétrico de $\gamma$ é dependente do
+ parâmetro $\theta$}.
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Propriedades da Poisson Generalizada}
+ Média e variância
+ \begin{itemize}
+ \item $\text{E}(Y) = \theta (1 - \gamma)^{-1}$.
+ \item $\text{V}(Y) = \theta (1 - \gamma)^{-3}$.
+ \end{itemize}
+ Relação média-variância
+ \begin{itemize}
+ \item Superdispersa se $ \gamma > 0$.
+ \item Subdispersa se $\gamma < 0$.
+ \end{itemize}
+ Quando $\gamma = 0$ a Poisson Generalizada reduz a distribuição
+ Poisson e, portanto, apresenta equidispersão.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Parametrização de média para modelo de regressão}
+ Defina
+ \begin{equation*}
+ \theta = \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda}, \qquad
+ \gamma = \alpha \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda}.
+ \end{equation*}
+
+ Ao substituir na função densidade, tem-se
+ \begin{equation*}
+ f(y) = \left( \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda} \right)^{y}
+ \frac{(1+\alpha y)^{y-1}}{y!}
+ \exp\left\{-\lambda \frac{(1+\alpha y)}{(1+\alpha \lambda)}\right\}.
+ \end{equation*}
+
+ \begin{itemize}
+ \item $\text{E}(y) = \lambda$,
+ \item $\text{V}(y) = \lambda (1+\alpha \lambda)^2$.
+ \item Superdispersa se $\alpha > 0$,
+ \item Subdispersa se $\alpha < 0$.
+ \item Poisson se $\alpha = 0$.
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Restrições no espaço paramétrico}
+ \begin{itemize}
+ \item $\lambda > 0.$
+ \item $1+\alpha\lambda > 0.$
+ \item $1+\alpha y > 0.$
+ \end{itemize}
+ Considerando uma amostra aleteatória de $y_i$ e valores conhecidos de
+ $\lambda_i$, $i = 1,2,\ldots$, as restrições combinadas sobre $\alpha$
+ resultam em
+ \begin{equation}
+ \alpha > \min \left\{ \frac{-1}{\max(y_i)},
+ \frac{-1}{\max(\lambda_i)} \right\},\quad
+ \text{ quando } \alpha < 0.
+ \end{equation}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Função de log-verossimilhança}
+ Considerando uma amostra aleatória $y_i, i=1,2,\ldots,n$, a
+ verossimilhança é
+ \begin{equation}
+ L(y; \lambda, \alpha) =
+ \prod_{i=1}^{n} \left(
+ \frac{\lambda}{1+\alpha\lambda}\right)^{y}
+ \frac{(1+\alpha y_{i})^{y_{i}-1}}{y_{i}!}
+ \exp\left\{-\lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{
+ (1+\alpha\lambda)}\right\}.
+ \end{equation}
+ A função de log-verossimilhança é
+ \begin{equation}
+ \ell(y; \lambda, \alpha) =
+ \sum_{i=1}^{n} y_{i}\ln(\lambda)-
+ \ln(1+\alpha\lambda)+
+ (y_{i}-1)\ln(1+\alpha y)-
+ \lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{(1+\alpha\lambda)}-
+ \ln(y_{i}!)
+ \end{equation}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \frametitle{Implementação da log-verossimilhança}
+<<echo = TRUE>>=
+library(MRDCr)
+llpgnz
+@
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+<<fig.width = 9, fig.height = 4.5, out.width = "0.95\\textwidth">>=
+grid <- expand.grid(lambda = c(2, 8, 15),
+ alpha = c(-0.05, 0, 0.05))
+y <- 0:35
+
+py <- mapply(FUN = dpgnz,
+ lambda = grid$lambda,
+ alpha = grid$alpha,
+ MoreArgs = list(y = y), SIMPLIFY = FALSE)
+grid <- cbind(grid[rep(1:nrow(grid), each = length(y)), ],
+ y = y,
+ py = unlist(py))
+
+useOuterStrips(xyplot(py ~ y | factor(lambda) + factor(alpha),
+ ylab = expression(f(y)),
+ xlab = expression(y),
+ data = grid, type = "h",
+ panel = function(x, y, ...) {
+ m <- sum(x * y)
+ panel.xyplot(x, y, ...)
+ panel.abline(v = m, lty = 2)
+ }),
+ strip = strip.custom(
+ strip.names = TRUE,
+ var.name = expression(lambda == ""),
+ sep = ""),
+ strip.left = strip.custom(
+ strip.names = TRUE,
+ var.name = expression(alpha == ""),
+ sep = ""))
+@
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Estudos de caso}
+ {\it Vignette} \href{run:../doc/v04_poisson_generalizada.html}{\tt
+ poisson\_generalizada.html}
+ \begin{description}
+ \item[\tt soja]: Número de vagens, de grãos e de grãos por vagem.
+ \item[\tt capdesfo]: Número de capulhos produzidos em algodão.
+ \item[\tt nematoide]: Número de nematoides em raízes de linhagens de
+ feijoeiro.
+ \end{description}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Conclusões}
+ TODO
+\end{frame}
--
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