diff --git a/vignettes/v04_poisson_generalizada.Rmd b/vignettes/v04_poisson_generalizada.Rmd index 0ff6f715bb09dc9ff213942a11afc8905cc3385a..d64a1fbd551f9210965a99a9bd2feaece1e2a379 100644 --- a/vignettes/v04_poisson_generalizada.Rmd +++ b/vignettes/v04_poisson_generalizada.Rmd @@ -31,29 +31,33 @@ library(MRDCr) ## Função Densidade ## Se uma variável aleatória $Y$ tem distribuição de probabilidades Poisson -generalizada, então sua função de probabilidade é +generalizada, então sua função de probabilidade, na parametrização de +média, é $$ -f(y) = -\begin{cases} - \theta (\theta + \gamma y)^{y - 1} - \exp\{-(\theta + \gamma y)\}, & - y = 0, 1, 2, \ldots \\ - 0, & - y > m \text{ quando } \gamma < 0 -\end{cases} +f(y) = \left( \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda} \right)^{y} + \frac{(1+\alpha y)^{y-1}}{y!} + \exp\left\{-\lambda \frac{(1+\alpha y)}{(1+\alpha \lambda)}\right\}, $$ +em que $\lambda$ é a média da distribuição e $\alpha$ é a o parâmetro de +dispersão. Nessa parametrização, tem-se - - $\theta > 0$; - - $m$ é maior inteiro positivo para o qual $\theta + m\gamma > 0$ - quando $\gamma$ é negativo. A literatura recomenda usar $m \geq 4$ - para se ter pelo menos 4 pontos no suporte com probabilidade não - nula (verificar). - - $\max\{-1, -\theta/m\} < \gamma < 1$; - - Resolvendo a iniqualdade, tem-se que $m = \left\lfloor - \frac{-\theta}{\gamma} \right\rfloor$ quando $\gamma < 0$; - - *Note que o espaço paramétrico de $\gamma$ é dependente do - parâmetro $\theta$*. + - $\text{E}(y) = \lambda$, + - $\text{V}(y) = \lambda (1+\alpha \lambda)^2$. + - Superdispersa se $\alpha > 0$, + - Subdispersa se $\alpha < 0$, + - Poisson se $\alpha = 0$, + - $\lambda > 0$, $1+\alpha\lambda > 0$ e $1+\alpha y > 0$. + +A função de log-verossimilhança é +$$ +\ell(y; \lambda, \alpha) = + \sum_{i=1}^{n} y_{i}\ln(\lambda)- + \ln(1+\alpha\lambda)+ + (y_{i}-1)\ln(1+\alpha y)- + \lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{(1+\alpha\lambda)}- + \ln(y_{i}!). +$$ ```{r} grid <- expand.grid(lambda = c(2, 8, 15),