From bedd8f5708fe2b350519478064b2727266a17902 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Walmes Zeviani <walmes@ufpr.br>
Date: Wed, 15 Aug 2018 18:53:55 -0300
Subject: [PATCH] Adiciona slides de GNA de v.a. discretas.
---
_site.yml | 4 +
slides/03-gna-uniforme.Rnw | 2 +-
slides/04-gna-nao-uniforme.Rnw | 258 +++++++++++++++++++++++++++++++++
slides/config/preamble.tex | 1 +
4 files changed, 264 insertions(+), 1 deletion(-)
create mode 100644 slides/04-gna-nao-uniforme.Rnw
diff --git a/_site.yml b/_site.yml
index 670cd43..ebb9003 100644
--- a/_site.yml
+++ b/_site.yml
@@ -31,10 +31,14 @@ navbar:
href: slides/02-docum-codigo.pdf
- text: "GNA Uniformes"
href: slides/03-gna-uniforme.pdf
+ - text: "GNA de v.a. Discretas"
+ href: slides/04-gna-nao-uniforme.pdf
- text: "----------"
- text: "Arquivos complementares"
- text: "GNA Uniformes (2015)"
href: http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula02_gna-2015-02.html
+ - text: "MTIP (2015)"
+ href: http://www.leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula03_tip-2015-02.html
# - text: "Estruturas de controle"
# href: slides/01-estru-repet.html
# - text: "Teorema da Transformação da Probabilidade"
diff --git a/slides/03-gna-uniforme.Rnw b/slides/03-gna-uniforme.Rnw
index 65eb722..7733fa7 100644
--- a/slides/03-gna-uniforme.Rnw
+++ b/slides/03-gna-uniforme.Rnw
@@ -33,7 +33,7 @@ source("config/setup.R")
\begin{itemize}
\item Simulação computacional de processos estocásticos depende da
geração de números aleatórios (GNA).
- \item TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO TODO
+ \item Inferência Bayesiana, jogos digitais, otimização estocástica também.
\end{itemize}
{\large Objetivos}
diff --git a/slides/04-gna-nao-uniforme.Rnw b/slides/04-gna-nao-uniforme.Rnw
new file mode 100644
index 0000000..cf3b474
--- /dev/null
+++ b/slides/04-gna-nao-uniforme.Rnw
@@ -0,0 +1,258 @@
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+
+% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
+\input{config/preamble.tex}
+% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
+\addbibresource{config/refs.bib}
+
+<<include = FALSE>>=
+source("config/setup.R")
+@
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\title{Geração de números não uniformes}
+\subtitle{Variáveis discretas e contÃnuas}
+\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\begin{document}
+
+{\setbeamertemplate{footline}{}
+ \frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
+}
+
+\begin{frame}{}
+
+ {\large Justificativas}
+
+ \begin{itemize}
+ \item A GNA Uniformes são o ponto de partida para GNA de outras
+ distribuições.
+ \item Do ponto de vista de simulação computacional, é importante
+ gerar números de todas as distribuições de probabilidade.
+ \end{itemize}
+
+ {\large Objetivos}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Mostrar a GNA de v.a. discretas.
+ \item Introduzir abordagens para GNA de v.a. contÃnuas.
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{A distribuição uniforme discreta}
+
+ Se $X$ tem distribuição uniforme discreta com $k$ valores, o seu
+ suporte é o conjunto $x \in \{1, 2, \ldots, k\}$, $k \geq 2$. A função
+ de probabilidade é
+ \begin{equation}
+ p(x) = \frac{1}{k} \cdot I(x \in \{1, 2, \ldots, k\}).
+ \end{equation}
+
+ A função de probabilidade acumulada é
+ \begin{equation}
+ F(x) = \frac{x}{k}.
+ \end{equation}
+
+ A média e variância são
+ \begin{equation}
+ \text{E}(X) = \frac{k + 1}{2} \quad \text{ e } \quad \text{V}(X) = \frac{k^2 - 1}{12}.
+ \end{equation}
+
+ \myurl{https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_uniform_distribution}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{Gráficos da uniforme discreta}
+
+<<echo = FALSE, fig.dim = c(7, 4)>>=
+x <- 1:5
+px <- rep(1/length(x), length(x))
+Px <- cumsum(px)
+
+par(mfrow = c(1, 2))
+plot(px ~ x,
+ type = "h",
+ ylim = c(0, 1/length(x) * 1.1),
+ xlab = "x",
+ ylab = "p(x)")
+points(px ~ x, pch = 19)
+plot(Px ~ x,
+ type = "s",
+ ylim = c(0, max(Px) * 1.1),
+ xlab = "x",
+ ylab = "F(x)")
+points(Px ~ x, pch = 19)
+layout(1)
+@
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Números da uniforme discreta}
+ {\large Como gerar números da uniforme discreta?}
+
+ Por compartimentalização (\emph{data binnig}).
+
+ Gera-se números da v.a. uniforme $U \sim \text{U}(0, 1)$ e obtém-se
+ números da v.a. $X$ de distribuição uniforme discreta usando
+
+ \begin{equation}
+ X = \begin{cases}
+ 1, & \text{se } U < 1/k \\
+ 2, & \text{se } 1/k \leq U < 2/k \\
+ \vdots & \vdots \\
+ k, & \text{se } (k-1)/k \leq U < 1. \\
+ \end{cases}
+ \end{equation}
+
+ $\bigstar$ Expresse a equação acima usando a função de distribuição $F(x)$.
+
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{A distribuição Bernoulli}
+
+ Uma v.a. $X$ tem distribuição Bernoulli, $X \sim \text{Ber}(p)$ se sua
+ função de probabilidade é
+ \begin{equation}
+ p(x) = \begin{cases}
+ p & \text{, se } x = 1 \\
+ 1 - p & \text{, se } x = 0,
+ \end{cases}
+ \end{equation}
+ em que $0 < p < 1$.
+
+ A média e variância são dados por
+
+ \begin{equation}
+ \text{E}(X) = p \quad \text{ e } \quad \text{V}(X) = p(1 - p).
+ \end{equation}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Números da Bernoulli}
+ {\large Como gerar números da Bernoulli?}
+
+ Por dicotomização. Gere números $U \sim \text{U}(0, 1)$ e faça
+
+ \begin{equation}
+ X = \begin{cases}
+ 1, & \text{se } U \leq p \\
+ 0, & \text{se } U > p.
+ \end{cases}
+ \end{equation}
+
+ $\bigstar$ Expresse a equação acima usando a função de distribuição $F(x)$.
+
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{A distribuição geométrica}
+
+ Uma v.a. $X$ tem distribuição Geométrica se é o número tentativas até
+ que o primeiro sucesso seja obtido em uma série de provas
+ independentes de Bernoulli ($p$ constante). Assim
+ \begin{equation}
+ p(x) = (1 - p)^{x-1}\cdot p, \quad x \in 1, 2, \ldots; 0 < p < 1.
+ \end{equation}
+
+ Representamos por $X\sim \text{Geo}(p)$ onde
+ \begin{equation}
+ \text{E}(X) = 1/p \quad \text{ e } \quad \text{V}(X) = (1-p)/p^2.
+ \end{equation}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Números da geométrica}
+
+ A função de distribuição da geométrica é
+ \begin{equation}
+ F(x) = 1 - (1 - p)^x
+ \end{equation}
+
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{llll}
+ \hline
+ $x$ & $p(x)$ & $\sum_x p(x)$ & $F(x) = 1 - (1 - p)^2$ \\ \hline
+ 1 & $p$ & $p$ & $p$ \\
+ 2 & $pq$ & $p + pq$ & $1 - q^2$ \\
+ 3 & $pq^2$ & $p + pq + pq^2$ & $1 - q^3$ \\
+ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+
+ $\bigstar$ Reconhece algum padrão algébrico?
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{Gerar números da geométrica}
+
+<<eval = FALSE>>=
+random_geo <- function(p) {
+ q <- 1 - p
+ pq <- p * q
+ x <- 1
+ Fx <- p
+ u <- runif(1)
+ while (u > Fx) {
+ x <- x + 1 # Incrementa x.
+ Fx <- Fx + pq # Calcula F(x).
+ pq <- pq * q # Atualiza.
+ }
+ return(x)
+}
+
+x <- replicate(10000, random_geo(p = 0.5))
+plot(ecdf(x))
+curve(pgeom(x - 1, p = 0.5), add = TRUE, type = "s", col = 2)
+@
+
+\end{frame}
+
+% \begin{frame}
+% Formalização dos conceitos
+% \url{http://www.portalaction.com.br/simulacao-monte-carlo/metodo-da-transforma-inversa}
+% \end{frame}
+% \begin{frame}
+% \myurl{http://www.leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2015-02/aula03_tip-2015-02.html}
+% \end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+{
+ \usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
+ % \setbeamersize{text margin left=30mm}
+
+ \begin{frame}[b]{}
+
+ \hspace*{0.5\linewidth}
+ \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
+
+ \hi{Próxima aula}
+ \begin{itemize}
+ \item GNA de variáveis aleatórias contÃnuas.
+ \item Método da transformação integral da probabilidade.
+ \end{itemize}
+
+ \hi{Avisos}
+ \begin{itemize}
+ \item Sabatina 02 já está no Moodle!
+ \end{itemize}
+
+ \end{minipage}
+
+\end{frame}
+}
+
+% %-----------------------------------------------------------------------
+% \begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
+% \frametitle{Referências bibliográficas}
+%
+% \printbibliography[heading=none]
+% \end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\end{document}
diff --git a/slides/config/preamble.tex b/slides/config/preamble.tex
index 9b336e0..10674ef 100644
--- a/slides/config/preamble.tex
+++ b/slides/config/preamble.tex
@@ -25,6 +25,7 @@
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[shorthands=off,main=brazil]{babel}
\usepackage{graphicx}
+\usepackage{fancybox}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{setspace}
--
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