poisson_generalizada.Rnw

<<setup-child, include=FALSE>>=
set_parent("slides-mrdcr.Rnw")
@

\begin{frame}{A distribuição de probabilidade}
  \begin{itemize}
  \item Introduzida por \cite{ConsulJain1997} e estudada em detalhes por
    \cite{Consul1989}
  \item Modela casos de superdispersão e subdispersão.
  \item A Poisson é um caso particular.
  \item Se $Y \sim $ Poisson Generalizada,
    sua função de probabilidade é
    \begin{equation*}
      f(y) =
      \begin{cases}
        \theta (\theta + \gamma y)^{y - 1}
        \exp\{-(\theta + \gamma y)\}, &
        y = 0, 1, 2, \ldots \\
        0, &
        y > m \text{ quando } \gamma < 0.
      \end{cases}
    \end{equation*}
  \item $\theta > 0$.
  \item $\max\{-1, -\theta/m\} < \gamma < 1$.
  \item $m$ é maior inteiro positivo para o qual $\theta + m\gamma >
    0$ quando $\gamma$ é negativo.
  \item {Note que o espaço paramétrico de $\gamma$ é dependente do
      parâmetro $\theta$}.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Propriedades da Poisson Generalizada}
  Média e variância
  \begin{itemize}
  \item $\text{E}(Y) = \theta (1 - \gamma)^{-1}$.
  \item $\text{V}(Y) = \theta (1 - \gamma)^{-3}$.
  \end{itemize}
  Relação média-variância
  \begin{itemize}
  \item Superdispersa se $ \gamma > 0$.
  \item Subdispersa se $\gamma < 0$.
  \end{itemize}
  Quando $\gamma = 0$ a Poisson Generalizada reduz a distribuição
  Poisson e, portanto, apresenta equidispersão.
\end{frame}

\begin{frame}{Parametrização de média para modelo de regressão}
  Defina
  \begin{equation*}
    \theta = \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda}, \qquad
    \gamma = \alpha \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda}.
  \end{equation*}

  Ao substituir na função densidade, tem-se
  \begin{equation*}
    f(y) = \left( \dfrac{\lambda}{1+\alpha\lambda} \right)^{y}
    \frac{(1+\alpha y)^{y-1}}{y!}
    \exp\left\{-\lambda \frac{(1+\alpha y)}{(1+\alpha \lambda)}\right\}.
  \end{equation*}

  \begin{itemize}
  \item $\text{E}(y) = \lambda$,
  \item $\text{V}(y) = \lambda (1+\alpha \lambda)^2$.
  \item Superdispersa se $\alpha > 0$,
  \item Subdispersa se $\alpha < 0$.
  \item Poisson se $\alpha = 0$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Restrições no espaço paramétrico}
  \begin{itemize}
  \item $\lambda > 0.$
  \item $1+\alpha\lambda > 0.$
  \item $1+\alpha y > 0.$
  \end{itemize}
  Considerando uma amostra aleteatória de $y_i$ e valores conhecidos de
  $\lambda_i$, $i = 1,2,\ldots$, as restrições combinadas sobre $\alpha$
  resultam em
  \begin{equation}
    \alpha > \min \left\{ \frac{-1}{\max(y_i)},
      \frac{-1}{\max(\lambda_i)} \right\},\quad
    \text{ quando } \alpha < 0.
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Função de log-verossimilhança}
  Considerando uma amostra aleatória $y_i, i=1,2,\ldots,n$, a
  verossimilhança é
  \begin{equation}
    L(y; \lambda, \alpha) =
    \prod_{i=1}^{n} \left(
      \frac{\lambda}{1+\alpha\lambda}\right)^{y}
    \frac{(1+\alpha y_{i})^{y_{i}-1}}{y_{i}!}
    \exp\left\{-\lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{
        (1+\alpha\lambda)}\right\}.
  \end{equation}
  A função de log-verossimilhança é
  \begin{equation}
    \ell(y; \lambda, \alpha) =
    \sum_{i=1}^{n} y_{i}\ln(\lambda)-
    \ln(1+\alpha\lambda)+
    (y_{i}-1)\ln(1+\alpha y)-
    \lambda\frac{(1+\alpha y_{i})}{(1+\alpha\lambda)}-
    \ln(y_{i}!)
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Implementação da log-verossimilhança}
<<echo = TRUE>>=
library(MRDCr)
llpgnz
@
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
<<fig.width = 9, fig.height = 4.5, out.width = "0.95\\textwidth">>=
grid <- expand.grid(lambda = c(2, 8, 15),
                    alpha = c(-0.05, 0, 0.05))
y <- 0:35

py <- mapply(FUN = dpgnz,
             lambda = grid$lambda,
             alpha = grid$alpha,
             MoreArgs = list(y = y), SIMPLIFY = FALSE)
grid <- cbind(grid[rep(1:nrow(grid), each = length(y)), ],
              y = y,
              py = unlist(py))

useOuterStrips(xyplot(py ~ y | factor(lambda) + factor(alpha),
                      ylab = expression(f(y)),
                      xlab = expression(y),
                      data = grid, type = "h",
                      panel = function(x, y, ...) {
                          m <- sum(x * y)
                          panel.xyplot(x, y, ...)
                          panel.abline(v = m, lty = 2)
                      }),
               strip = strip.custom(
                   strip.names = TRUE,
                   var.name = expression(lambda == ""),
                   sep = ""),
               strip.left = strip.custom(
                   strip.names = TRUE,
                   var.name = expression(alpha == ""),
                   sep = ""))
@
\end{frame}

\begin{frame}{Estudos de caso}
  {\it Vignette} \href{run:../doc/v04_poisson_generalizada.html}{\tt
    poisson\_generalizada.html}
  \begin{description}
  \item[\tt soja]: Número de vagens, de grãos e de grãos por vagem.
  \item[\tt capdesfo]: Número de capulhos produzidos em algodão.
  \item[\tt nematoide]: Número de nematoides em raízes de linhagens de
    feijoeiro.
  \end{description}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Conclusões}
  TODO
\end{frame}