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Commit 61180684 authored by Walmes Marques Zeviani's avatar Walmes Marques Zeviani
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Adiciona o começo da vignette da Gamma Count.

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---
title: "Análise de Contagens com Modelo Gamma Gount"
author: >
Walmes M. Zeviani,
Eduardo E. Ribeiro Jr &
Cesar A. Taconeli
vignette: >
%\VignetteIndexEntry{"Análise de Contagens com Modelo Poisson Generalizado"}
%\VignetteEngine{knitr::rmarkdown}
%\VignetteEncoding{UTF-8}
---
```{r setup, include=FALSE}
source("_setup.R")
```
## Função Densidade ##
Se uma variável aleatória $Y$ tem distribuição de probabilidades Gamma
Count, então sua função de probabilidade é
$$
p(y,\lambda,\alpha) =
\left(\int_{0}^{1}
\frac{(\alpha\lambda)^{y\alpha}}{\Gamma(y\alpha)}\,
u^{y\alpha-1}
\exp\{-\alpha\lambda u\}\, \textrm{d}u \right)
- \left(\int_{0}^{1}
\frac{(\alpha\lambda)^{y\alpha}}{\Gamma((y+1)\alpha)}\,
u^{(y+1)\alpha-1}
\exp\{-\alpha\lambda u\}\, \textrm{d}u \right),
$$
em que $\lambda$ é o parâmetro de locação e $\alpha$ o parâmetro de
dispersão.
Essa função decorre da relação que existe entre intervalo de tempo entre
eventos e do número de eventos dentro de um intervalo.
Considere que $\tau$ seja a variável aleatória tempo entre eventos que
acontecem ao longo de um domínio com distribuição $\tau \sim
\text{Gama}(\alpha, \beta)$. Sendo assim, a função desidade de $\tau$ é
$$
f(\tau, \alpha, \beta) =
\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
\cdot \tau^{\alpha-1}\cdot \exp\{-\beta\tau\},
$$
cuja média é $\text{E}(\tau) = \frac{\alpha}{\beta}$ e a variância é
$\text{V}(\tau) = \frac{\alpha}{\beta^2}.$
<!--
Se fizermos $\text{E}(\tau) = \frac{\alpha}{\beta} = \lambda$, então
podemos usar $\alpha/\lambda$ no lugar de $\beta$ para ter uma
parametrização com um parâmetro que represente a média da variável
aleatória. Sendo assim, a densidade na parametrição com $\lambda$ é
$$
f(\tau, \alpha, \lambda) =
\frac{(\alpha\lambda)^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
\cdot \tau^{\alpha-1}\cdot \exp\{-\alpha\lambda\tau\},
$$
cuja média é $\text{E}(\tau) = \lambda$ e a variância é
$\text{V}(\tau) = \frac{\alpha}{(\alpha\lambda)^2} =
\frac{1}{\alpha\lambda^2}.$
-->
Ainda, o tempo decorrido até a ocorrência o *n*-ésimo evento é portanto,
$$
\vartheta_n = \tau_1+\cdots+\tau_n ~ \sim \text{Gama}(n\alpha, \beta),
$$
pois a soma de variáveis aleatórias Gama tem distribuição Gama, cuja
média é $\text{E}(\vartheta) = \frac{n\alpha}{\beta}$ e a variância é,
$\text{V}(\vartheta) = \frac{n\alpha}{\beta^2}$. A função densidade de
$\vartheta_n$ então é
$$
f_n(\vartheta, \alpha, \beta) =
\frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma(n\alpha)}\cdot
\vartheta^{n\alpha-1}\cdot \exp\{-\beta\vartheta\},
$$
e a função acumulada é
$$
F_n(T) = \Pr(\vartheta_n \leq T) =
\int_{0}^{T} \frac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma(n\alpha)}\cdot
t^{n\alpha-1}\cdot
\exp\{-\beta t\}\,\text{d}t.
$$
Decorre que, se $[0, T)$ é um intervalo e $N$ é o número de eventos
ocorridos dentro desse intervalo, então $N_T < n$ se e somente se
$\vartheta_n \geq T$, ou seja
$$
\Pr(N < n) = \Pr(\vartheta_n \geq T) = 1-F_n(T).
$$
Como
$$
F_n(T) = G(n\alpha, \beta) =
\frac{1}{\Gamma(n\alpha)}
\int_{0}^{T} t^{n\alpha-1}\cdot\exp\{-\beta t\}\, \text{d}t,
$$
podemos escrever $\Pr(N = n)$ como sendo a diferença de acumuladas da
Gama,
$$
\Pr(N_T=n) = G(n\alpha, \beta) - G((n+1)\alpha, \beta).
$$
```{r, message=FALSE, error=FALSE, warning=FALSE}
# Definições da sessão.
# devtools::load_all("../")
library(lattice)
library(latticeExtra)
library(grid)
library(rpanel)
library(bbmle)
library(corrplot)
library(plyr)
library(car)
library(doBy)
library(multcomp)
library(MRDCr)
```
```{r}
# Função densidade na parametrização original.
dgcnt
# Caso Poisson (gamma == 0).
grid <- expand.grid(lambda = c(2, 8, 15),
alpha = c(0.5, 1, 2.5))
y <- 0:30
py <- mapply(FUN = dgcnt,
lambda = grid$lambda,
alpha = grid$alpha,
MoreArgs = list(y = y), SIMPLIFY = FALSE)
grid <- cbind(grid[rep(1:nrow(grid), each = length(y)), ],
y = y,
py = unlist(py))
useOuterStrips(xyplot(py ~ y | factor(lambda) + factor(alpha),
data = grid, type = "h",
panel = function(x, y, ...) {
m <- sum(x * y)
panel.xyplot(x, y, ...)
panel.abline(v = m, lty = 2)
# grid.text(label = sprintf("%0.1f", m),
# x = unit(0.95, "npc"),
# y = unit(0.9, "npc"),
# hjust = 1)
}),
strip = strip.custom(
strip.names = TRUE,
var.name = expression(lambda == ""),
sep = ""),
strip.left = strip.custom(
strip.names = TRUE,
var.name = expression(alpha == ""),
sep = ""))
```
## Recursos interativos com o `rpanel` ##
```{r, eval=FALSE}
# Função densidade na parametrização de modelo de regressão.
MRDCr::dgcnt
react <- function(panel){
with(panel,
{
y <- 0:YMAX
py <- dgcnt(y = y, lambda = LAMBDA, alpha = exp(ALPHA))
m <- sum(y * py)
if (POIS) {
pz <- dpois(y, lambda = m)
} else {
pz <- 0
}
py[!is.finite(py)] <- 0
plot(py ~ y, type = "h",
ylim = c(0, max(c(py, pz))),
xlab = expression(y),
ylab = expression(f(y)))
mtext(side = 3,
text = substitute(sum(f(y)) == s,
list(s = round(sum(py), 5))))
if (EX) {
abline(v = m, col = 2)
}
if (POIS) {
lines(y + 0.3, pz, type = "h", col = 3)
}
})
panel
}
panel <- rp.control(title = "Gamma Count",
size = c(300, 100), YMAX = 50)
rp.slider(panel = panel, action = react,
variable = LAMBDA, title = "lambda",
from = 1, to = 0.75 * panel$YMAX,
initval = 5, resolution = 0.1,
showvalue = TRUE)
rp.slider(panel = panel, action = react,
variable = ALPHA, title = "alpha",
from = -5, to = 5,
initval = 0, resolution = 0.02,
showvalue = TRUE)
rp.checkbox(panel = panel,
variable = EX, action = react, title = "E(Y)",
labels = "Mostrar o valor esperado?")
rp.checkbox(panel = panel,
variable = POIS, action = react, title = "Poisson",
labels = "Adicionar a distribução Poisson?")
rp.do(panel = panel, action = react)
```
## Verossimilhança e Estimação ##
```{r}
# Função de log-Verossimilhança da Poisson Generalizada na
# parametrização de modelo de regressão.
MRDCr::llgcnt
#-----------------------------------------------------------------------
# Gerando uma amostra aleatória da Poisson, para teste.
# Offset = 2, lambda = 3.
y <- rpois(100, lambda = 2 * 3)
L <- list(y = y,
offset = rep(2, length(y)),
X = cbind(rep(1, length(y))))
start <- c(alpha = 0, lambda = 1)
parnames(llgcnt) <- names(start)
# Como \alpha foi fixado em 1, essa ll corresponde à Poisson.
n0 <- mle2(minuslogl = llgcnt,
start = start, data = L,
fixed = list(alpha = 0), vecpar = TRUE)
# Para conferir.
c(coef(n0)["lambda"],
coef(glm(y ~ offset(log(L$offset)), family = poisson)))
# Estimando o \alpha.
n1 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L, vecpar = TRUE)
coef(n1)
# Perfil de verossimilhança dos parâmetros.
plot(profile(n1))
# Covariância.
V <- cov2cor(vcov(n1))
corrplot.mixed(V, lower = "number", upper = "ellipse",
diag = "l", tl.pos = "lt", tl.col = "black",
tl.cex = 0.8, col = brewer.pal(9, "Greys")[-(1:3)])
dev.off()
```
## Número de Vagens Produzidas em Soja ##
Resultados de um experimento fatorial (3 x 5), em delineamento de blocos
casualizados, que estudou a influência de níveis de potássio na adubação
de soja em combinação com irrigação em casa de vegetação. As variáveis
de contagem registradas nesse experimento foram o número de vagens
viáveis (e não viáveis) e o número total de sementes por parcela com
duas plantas de soja.
```{r}
#-----------------------------------------------------------------------
# Carregando e explorando os dados.
data(soja, package = "MRDCr")
str(soja)
# A observação 74 é um outlier.
soja <- soja[-74, ]
xyplot(nvag ~ K | umid, data = soja, layout = c(NA, 1),
type = c("p", "smooth"),
ylab = "Número de vagens por parcela",
xlab = expression("Dose de potássio aplicada"~(mg ~ dm^{3})),
strip = strip.custom(strip.names = TRUE, var.name = "Umidade"))
soja <- transform(soja, K = factor(K))
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson.
m0 <- glm(nvag ~ bloc + umid * K, data = soja, family = poisson)
m1 <- update(m0, family = quasipoisson)
# Diagnóstico.
par(mfrow = c(2, 2))
plot(m0); layout(1)
# Medidas de decisão.
# anova(m0, test = "Chisq")
anova(m1, test = "F")
summary(m1)
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson Generalizado.
L <- with(soja,
list(y = nvag, offset = 1, X = model.matrix(m0)))
# Usa as estimativas do Poisson como valores iniciais para a PGen.
start <- c(alpha = 0, coef(m0))
parnames(llgcnt) <- names(start)
# Com alpha fixo em 0 corresponde à Poisson.
m2 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L,
fixed = list(alpha = 0), vecpar = TRUE)
# Mesma medida de ajuste e estimativas.
c(logLik(m2), logLik(m0))
cbind(coef(m2)[-1], coef(m0))
# Poisson Generalizada.
m3 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L, vecpar = TRUE)
# Teste para nulinidade do parâmetro de dispersão (H_0: alpha == 0).
anova(m3, m2)
# Estimativas dos coeficientes.
cbind("PoissonGLM" = c(NA, coef(m0)),
"PoissonML" = coef(m2),
"GCount" = coef(m3))
# Perfil para o parâmetro de dispersão.
plot(profile(m3, which = "alpha"))
abline(v = 0, lty = 2)
V <- cov2cor(vcov(m3))
corrplot.mixed(V, lower = "number", upper = "ellipse",
diag = "l", tl.pos = "lt", tl.col = "black",
tl.cex = 0.8, col = brewer.pal(9, "Greys")[-(1:3)])
dev.off()
# Tamanho das covariâncias com \alpha.
each(sum, mean, max)(abs(V[1, -1]))
opts_chunk$set(eval = FALSE)
```
```{r}
#-----------------------------------------------------------------------
# Testes de hipótese.
# Teste de Wald para a interação.
a <- c(0, attr(model.matrix(m0), "assign"))
ai <- a == max(a)
L <- t(replicate(sum(ai), rbind(coef(m3) * 0), simplify = "matrix"))
L[, ai] <- diag(sum(ai))
# Cáclculo da estatística Chi-quadrado.
# t(L %*% coef(m3)) %*%
# solve(L %*% vcov(m3) %*% t(L)) %*%
# (L %*% coef(m3))
crossprod(L %*% coef(m3),
solve(L %*% vcov(m3) %*% t(L),
L %*% coef(m3)))
# Teste de Wald para interação (poderia ser LRT, claro).
# É necessário passar um objeto glm mesmo fornecendo o restante a parte.
linearHypothesis(model = m0,
hypothesis.matrix = L,
vcov. = vcov(m3),
coef. = coef(m3))
#-----------------------------------------------------------------------
# Predição com bandas de confiança.
X <- LSmatrix(m0, effect = c("umid", "K"))
pred <- attr(X, "grid")
pred <- transform(pred,
K = as.integer(K),
umid = factor(umid))
pred <- list(pois = pred, quasi = pred, gcnt = pred)
# Quantil normal.
qn <- qnorm(0.975) * c(lwr = -1, fit = 0, upr = 1)
# Preditos pela Poisson.
aux <- confint(glht(m0, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$pois <- cbind(pred$pois, exp(aux))
str(pred$pois)
# Preditos pela Quasi-Poisson.
aux <- confint(glht(m0, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$pois <- cbind(pred$pois, exp(aux))
str(pred$pois)
# Matrix de covariância completa e sem o alpha (marginal).
V <- vcov(m3)
V <- V[-1, -1]
U <- chol(V)
aux <- sqrt(apply(X %*% t(U), MARGIN = 1,
FUN = function(x) { sum(x^2) }))
pred$gcnt$eta <- c(X %*% coef(m3)[-1])
pred$gcnt <- cbind(pred$gcnt,
apply(outer(aux, qn, FUN = "*"), MARGIN = 2,
FUN = function(x) {
exp(pred$gcnt$eta + x)
}))
# TODO fitted.gcnt
fitted.gcnt <- function(lambda, alpha, offset, nmax) {
y <- 0:nmax
sum(pgamma(offset,
shape = exp(alpha) * y,
rate = exp(alpha) * exp(lambda)))
}
pred <- ldply(pred, .id = "modelo")
pred <- arrange(pred, umid, K, modelo)
key <- list(type = "o", divide = 1,
lines = list(pch = 1:nlevels(pred$modelo),
lty = 1, col = 1),
text = list(c("Poisson", "Poisson Generelizada")))
xyplot(fit ~ K | umid, data = pred,
layout = c(NA, 1), as.table = TRUE,
xlim = extendrange(range(pred$K), f = 0.1),
key = key, pch = pred$modelo,
xlab = expression("Dose de potássio"~(mg~dm^{-3})),
ylab = "Número de vagens por parcela",
ly = pred$lwr, uy = pred$upr, cty = "bars", length = 0,
prepanel = prepanel.cbH,
desloc = 8 * scale(as.integer(pred$modelo), scale = FALSE),
panel = panel.cbH)
```
## Número de Grãos Produzidas em Soja ##
Análise do número de grãos por pacela do experimento com soja.
```{r}
#-----------------------------------------------------------------------
xyplot(ngra ~ K | umid, data = soja, layout = c(NA, 1),
type = c("p", "smooth"),
ylab = "Número de grãos por parcela",
xlab = expression("Dose de potássio aplicada"~(mg ~ dm^{3})),
strip = strip.custom(strip.names = TRUE, var.name = "Umidade"))
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson.
m0 <- glm(ngra ~ bloc + umid * K, data = soja, family = poisson)
m1 <- update(m0, family = quasipoisson)
# Diagnóstico.
par(mfrow = c(2, 2))
plot(m0); layout(1)
# Medidas de decisão.
# anova(m0, test = "Chisq")
anova(m1, test = "Chisq")
summary(m1)
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson Generalizado.
L <- with(soja,
list(y = ngra, offset = 1, X = model.matrix(m0)))
# Usa as estimativas do Poisson como valores iniciais.
start <- c(alpha = 0, coef(m0))
parnames(llgcnt) <- names(start)
# Com alpha fixo em 0 corresponde à Poisson.
m2 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L,
fixed = list(alpha = 0), vecpar = TRUE)
# Mesma medida de ajuste e estimativas.
c(logLik(m2), logLik(m0))
# Poisson Generalizada.
m3 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L, vecpar = TRUE)
# Teste para nulinidade do parâmetro de dispersão (H_0: alpha == 0).
anova(m3, m2)
# Estimaitvas dos parâmetros.
cbind("PoissonGLM" = c(NA, coef(m0)),
"PoissonML" = coef(m2),
"Gcnteraliz" = coef(m3))
# Perfil para o parâmetro de dispersão.
plot(profile(m3, which = "alpha"))
abline(v = 0, lty = 2)
V <- cov2cor(vcov(m3))
corrplot.mixed(V, lower = "number", upper = "ellipse",
diag = "l", tl.pos = "lt", tl.col = "black",
tl.cex = 0.8, col = brewer.pal(9, "Greys")[-(1:3)])
dev.off()
# Tamanho das covariâncias com \alpha.
each(sum, mean, max)(abs(V[1, -1]))
# Teste de Wald para a interação.
a <- c(0, attr(model.matrix(m0), "assign"))
ai <- a == max(a)
L <- t(replicate(sum(ai), rbind(coef(m3) * 0), simplify = "matrix"))
L[, ai] <- diag(sum(ai))
# Cáclculo da estatística Chi-quadrado.
crossprod(L %*% coef(m3),
solve(L %*% vcov(m3) %*% t(L),
L %*% coef(m3)))
linearHypothesis(model = m0,
hypothesis.matrix = L,
vcov. = vcov(m3),
coef. = coef(m3))
#-----------------------------------------------------------------------
# Predição com bandas de confiança.
X <- LSmatrix(m0, effect = c("umid", "K"))
pred <- attr(X, "grid")
pred <- transform(pred,
K = as.integer(K),
umid = factor(umid))
pred <- list(pois = pred, quasi = pred, gcnt = pred)
# Quantil normal.
qn <- qnorm(0.975) * c(lwr = -1, fit = 0, upr = 1)
# Preditos pela Poisson.
aux <- confint(glht(m0, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$pois <- cbind(pred$pois, exp(aux))
# Preditos pela Quasi-Poisson.
aux <- confint(glht(m1, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$quasi <- cbind(pred$quasi, exp(aux))
# Preditos pela Poisson Generalizada.
V <- vcov(m3)
V <- V[-1, -1]
U <- chol(V)
aux <- sqrt(apply(X %*% t(U), MARGIN = 1,
FUN = function(x) { sum(x^2) }))
pred$gcnt$eta <- c(X %*% coef(m3)[-1])
pred$gcnt <- cbind(pred$gcnt,
apply(outer(aux, qn, FUN = "*"), MARGIN = 2,
FUN = function(x) {
exp(pred$gcnt$eta + x)
}))
# Junta o resultado dos 3 modelos.
pred <- ldply(pred, .id = "modelo")
pred <- arrange(pred, umid, K, modelo)
str(pred)
key <- list(type = "o", divide = 1,
lines = list(pch = 1:nlevels(pred$modelo),
lty = 1, col = 1),
text = list(c("Poisson", "Quasi-Poisson",
"Poisson Generelizada")))
xyplot(fit ~ K | umid, data = pred,
layout = c(NA, 1), as.table = TRUE,
xlim = extendrange(range(pred$K), f = 0.1),
key = key, pch = pred$modelo,
xlab = expression("Dose de potássio"~(mg~dm^{-3})),
ylab = "Número de grãos por parcela",
ly = pred$lwr, uy = pred$upr, cty = "bars", length = 0,
prepanel = prepanel.cbH,
desloc = 8 * scale(as.integer(pred$modelo), scale = FALSE),
panel = panel.cbH)
```
## Número de Grãos por Vagem ##
```{r}
#-----------------------------------------------------------------------
# Número de grãos por vagem (offset).
xyplot(ngra/nvag ~ K | umid, data = soja, layout = c(NA, 1),
type = c("p", "smooth"),
xlab = expression("Dose de potássio"~(mg~dm^{-3})),
ylab = "Número de grãos por vagem",
strip = strip.custom(strip.names = TRUE, var.name = "Umidade"))
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson.
m0 <- glm(ngra ~ offset(log(nvag)) + bloc + umid * K,
data = soja, family = poisson)
m1 <- update(m0, family = quasipoisson)
# Diagnóstico.
par(mfrow = c(2, 2))
plot(m0); layout(1)
# Medidas de decisão.
# anova(m0, test = "Chisq")
anova(m1, test = "F")
summary(m1)
# Declara um modelo aditivo.
m0 <- glm(ngra ~ offset(log(nvag)) + bloc + umid + K,
data = soja, family = poisson)
m1 <- update(m0, family = quasipoisson)
anova(m1, test = "F")
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson Generalizado.
L <- with(soja,
list(y = ngra, offset = nvag, X = model.matrix(m0)))
# De acordo com a estimativa de phi da Quasi-Poisson, esse dado é
# subdisperso. Já que na verossimilhaça (1 + alpha * y) > -1 quando
# alpha < 0, então o menor valor possível para gamma para ter uma
# log-verossimilhança avaliável é
-1/max(soja$ngra)
# Mesmo com esse lower bound, o valor chute para alpha foi definido por
# tentativa erro. O valor -0.003 dá Error e o valor -0.002 na hora de
# perfilhar encontra um mínimo melhor. Então, por tentativa erro
# chegou-se no -0.0026.
start <- c(alpha = -0.0026, coef(m0))
parnames(llgcnt) <- names(start)
# Com alpha fixo em 0 corresponde à Poisson.
m2 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L,
fixed = list(alpha = 0), vecpar = TRUE)
# Mesma medida de ajuste e estimativas.
c(logLik(m2), logLik(m0))
# Poisson Generalizada.
m3 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L, vecpar = TRUE)
# Teste para nulinidade do parâmetro de dispersão (H_0: alpha == 0).
anova(m3, m2)
cbind("PoissonGLM" = c(NA, coef(m0)),
"PoissonML" = coef(m2),
"Gcnteraliz" = coef(m3))
# Perfil para o parâmetro de dispersão.
plot(profile(m3, which = "alpha"))
V <- cov2cor(vcov(m3))
corrplot.mixed(V, lower = "number", upper = "ellipse",
diag = "l", tl.pos = "lt", tl.col = "black",
tl.cex = 0.8, col = brewer.pal(9, "Greys")[-(1:3)])
dev.off()
# Tamanho das covariâncias com \alpha.
each(sum, mean, max)(abs(V[1, -1]))
# Teste de Wald para a interação.
a <- c(0, attr(model.matrix(m0), "assign"))
ai <- a == max(a)
L <- t(replicate(sum(ai), rbind(coef(m3) * 0), simplify = "matrix"))
L[, ai] <- diag(sum(ai))
# Cáclculo da estatística Chi-quadrado.
crossprod(L %*% coef(m3),
solve(L %*% vcov(m3) %*% t(L),
L %*% coef(m3)))
linearHypothesis(model = m0,
hypothesis.matrix = L,
vcov. = vcov(m3),
coef. = coef(m3))
#-----------------------------------------------------------------------
# Predição com bandas de confiança.
# Por causa do offset, não tem como usar a LSmatrix.
pred <- unique(subset(soja, select = c("umid", "K")))
X <- model.matrix(formula(m0)[-2],
data = cbind(nvag = 1, bloc = soja$bloc[1], pred))
i <- grep(x = colnames(X), pattern = "^bloc")
X[, i] <- X[, i] * 0 + 1/(length(i) + 1)
head(X)
pred <- list(pois = pred, quasi = pred, gcnt = pred)
# Quantil normal.
qn <- qnorm(0.975) * c(lwr = -1, fit = 0, upr = 1)
# Preditos pela Poisson.
aux <- confint(glht(m0, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$pois <- cbind(pred$pois, exp(aux))
# Preditos pela Quasi-Poisson.
aux <- confint(glht(m1, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$quasi <- cbind(pred$quasi, exp(aux))
# Preditos pela Poisson Generalizada.
V <- vcov(m3)
V <- V[-1, -1]
U <- chol(V)
aux <- sqrt(apply(X %*% t(U), MARGIN = 1,
FUN = function(x) { sum(x^2) }))
pred$gcnt$eta <- c(X %*% coef(m3)[-1])
pred$gcnt <- cbind(pred$gcnt,
apply(outer(aux, qn, FUN = "*"), MARGIN = 2,
FUN = function(x) {
exp(pred$gcnt$eta + x)
}))
# Junta o resultado dos 3 modelos.
pred <- ldply(pred, .id = "modelo")
pred <- arrange(pred, umid, K, modelo)
pred$K <- as.numeric(as.character(pred$K))
key <- list(type = "o", divide = 1,
lines = list(pch = 1:nlevels(pred$modelo),
lty = 1, col = 1),
text = list(c("Poisson", "Quasi-Poisson",
"Poisson Generelizada")))
xyplot(fit ~ K | umid, data = pred,
layout = c(NA, 1), as.table = TRUE,
xlim = extendrange(range(pred$K), f = 0.2),
key = key, pch = pred$modelo,
xlab = expression("Dose de potássio"~(mg~dm^{-3})),
ylab = "Número de grãos por parcela",
ly = pred$lwr, uy = pred$upr, cty = "bars", length = 0,
prepanel = prepanel.cbH,
desloc = 8 * scale(as.integer(pred$modelo), scale = FALSE),
panel = panel.cbH)
```
## Número de Capulhos Produzidos em Algodão ##
Experimento conduzido em casa de vegetação para avaliar o efeito da
desfolha, em diferentes fases de desenvolvimento do algodão, sobre a
produção da cultura. As parcelas foram vasos com duas plantas
que tiveram a área das folhas removidas com uma tesoura, simulando o ataque de
insetos desfolhadores, nos níveis de 0, 25, 50, 75 e 100% de remoção de
área foliar. Em cada fase de desenvolvimento (de 5), 5 parcelas sofreram
desfolha nos níveis mencionados. O número de capulhos ao final do
experimento foi contado.
```{r}
#-----------------------------------------------------------------------
# Número de capulhos em função do nível de desfolha artificial e fase
# fenológica do algodoeiro.
data(capdesfo, package = "MRDCr")
str(capdesfo)
p1 <- xyplot(ncap ~ des | est, data = capdesfo,
col = 1, type = c("p", "smooth"), col.line = "gray50",
layout = c(2, 3), as.table = TRUE,
xlim = extendrange(c(0:1), f = 0.15),
xlab = "Nível de desfolhas artificial",
ylab = "Número de capulho produzidos",
spread = 0.035, panel = panel.beeswarm)
p1
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson.
m0 <- glm(ncap ~ est * (des + I(des^2)),
data = capdesfo, family = poisson)
m1 <- update(m0, family = quasipoisson)
par(mfrow = c(2, 2))
plot(m0); layout(1)
anova(m0, test = "Chisq")
anova(m1, test = "F")
summary(m1)
#-----------------------------------------------------------------------
# Modelo Poisson Generalizada.
L <- with(capdesfo,
list(y = ncap, offset = 1, X = model.matrix(m0)))
start <- c(alpha = log(1), coef(m0))
parnames(llgcnt) <- names(start)
# Modelo Poisson também.
m2 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L,
fixed = list(alpha = 0), vecpar = TRUE)
c(logLik(m2), logLik(m0))
# Modelo Poisson Generalizado.
m3 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L, vecpar = TRUE)
logLik(m3)
anova(m3, m2)
summary(m3)
plot(profile(m3, which = "alpha"))
cbind("PoissonGLM" = c(NA, coef(m0)),
"PoissonML" = coef(m2),
"Gcnteraliz" = coef(m3))
V <- cov2cor(vcov(m3))
corrplot.mixed(V, lower = "number", upper = "ellipse",
diag = "l", tl.pos = "lt", tl.col = "black",
tl.cex = 0.8, col = brewer.pal(9, "Greys")[-(1:3)])
dev.off()
# Tamanho das covariâncias com \alpha.
each(sum, mean, max)(abs(V[1, -1]))
# Teste de Wald para a interação.
a <- c(0, attr(model.matrix(m0), "assign"))
ai <- a == max(a)
L <- t(replicate(sum(ai), rbind(coef(m3) * 0), simplify = "matrix"))
L[, ai] <- diag(sum(ai))
# Teste de Wald explicito.
crossprod(L %*% coef(m3),
solve(L %*% vcov(m3) %*% t(L),
L %*% coef(m3)))
# Teste de Wald para interação (poderia ser LRT, claro).
# É necessário um objeto glm, mas necesse caso ele não usado para nada.
linearHypothesis(model = m0,
hypothesis.matrix = L,
vcov. = vcov(m3),
coef. = coef(m3))
#-----------------------------------------------------------------------
# Predição com bandas de confiança.
pred <- with(capdesfo, expand.grid(est = levels(est),
des = seq(0, 1, by = 0.025)))
X <- model.matrix(formula(m0)[-2], data = pred)
pred <- list(pois = pred, quasi = pred, gcnt = pred)
# Quantil normal.
qn <- qnorm(0.975) * c(lwr = -1, fit = 0, upr = 1)
# Preditos pela Poisson.
aux <- confint(glht(m0, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$pois <- cbind(pred$pois, exp(aux))
# Preditos pela Quasi-Poisson.
aux <- confint(glht(m1, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$quasi <- cbind(pred$quasi, exp(aux))
# Preditos pela Poisson Generalizada.
V <- vcov(m3)
V <- V[-1, -1]
U <- chol(V)
aux <- sqrt(apply(X %*% t(U), MARGIN = 1,
FUN = function(x) { sum(x^2) }))
pred$gcnt$eta <- c(X %*% coef(m3)[-1])
pred$gcnt <- cbind(pred$gcnt,
apply(outer(aux, qn, FUN = "*"), MARGIN = 2,
FUN = function(x) {
exp(pred$gcnt$eta + x)
}))
pred <- ldply(pred, .id = "modelo")
pred <- arrange(pred, est, des, modelo)
key <- list(lines = list(lty = 1),
text = list(c("Poisson", "Quasi-Poisson",
"Poisson Generelizada")))
key$lines$col <-
trellis.par.get("superpose.line")$col[1:nlevels(pred$modelo)]
p2 <- xyplot(fit ~ des | est, data = pred, groups = modelo,
layout = c(NA, 1), as.table = TRUE,
xlim = extendrange(range(pred$des), f = 0.1),
type = "l", key = key,
ly = pred$lwr, uy = pred$upr,
cty = "bands", alpha = 0.35,
prepanel = prepanel.cbH,
panel.groups = panel.cbH,
panel = panel.superpose)
# p2
```
```{r, fig.width=7, fig.height=3.5}
update(p1, type = "p", layout = c(NA, 1),
key = key, spread = 0.07) +
as.layer(p2, under = TRUE)
```
## Número de Nematóides em Linhagens de Feijão
```{r}
#-----------------------------------------------------------------------
data(nematoide, package = "MRDCr")
str(nematoide)
# Número de nematóides por grama de raíz.
plot(nema ~ off, data = nematoide)
# Média do número de nematóides por grama de raíz.
mv <- aggregate(cbind(y = nema/off) ~ cult, data = nematoide,
FUN = function(x) c(m = mean(x), v = var(x)))
xyplot(y[, "v"] ~ y[, "m"], data = mv,
xlab = "Média amostral",
ylab = "Variância amostral") +
layer(panel.abline(a = 0, b = 1, lty = 2))
#-----------------------------------------------------------------------
# Ajuste do Poisson.
m0 <- glm(nema ~ offset(log(off)) + cult,
data = nematoide,
family = poisson)
m1 <- update(m0, family = quasipoisson)
# Diagnóstico.
par(mfrow = c(2, 2))
plot(m0); layout(1)
# Estimativas dos parâmetros.
summary(m1)
# Quadro de deviance.
# anova(m0, test = "Chisq")
anova(m1, test = "F")
#-----------------------------------------------------------------------
# Ajuste da Poisson Generalizada.
L <- with(nematoide,
list(y = nema, offset = off, X = model.matrix(m0)))
start <- c(alpha = log(1), coef(m0))
parnames(llgcnt) <- names(start)
# Modelo Poisson também.
m2 <- mle2(llgcnt, start = start, data = L,
fixed = list(alpha = 0), vecpar = TRUE)
c(logLik(m2), logLik(m0))
# Poisson Generalizada.
m3 <- gcnt(formula(m0), data = nematoide)
# Diferença de deviance.
# 2 * diff(c(logLik(m0), logLik(m3)))
anova(m3, m2)
# Perfil de log-verossimilhança para o parâmetro de dispersão.
plot(profile(m3, which = "alpha"))
# Covariância.
V <- cov2cor(vcov(m3))
corrplot.mixed(V, lower = "number", upper = "ellipse",
diag = "l", tl.pos = "lt", tl.col = "black",
tl.cex = 0.8, col = brewer.pal(9, "Greys")[-(1:3)])
dev.off()
# Tamanho das covariâncias com \alpha.
each(sum, mean, max)(abs(V[1, -1]))
# Gráfico das estimativas.
pars <- data.frame(Pois = c(0, coef(m0)), Gcnt = coef(m3))
xyplot(Gcnt ~ Pois, data = pars, aspect = "iso", grid = TRUE) +
layer(panel.abline(a = 0, b = 1, lty = 2))
#-----------------------------------------------------------------------
X <- model.matrix(m0)
# # Predito do número de nematóides observado (considera o offset).
# with(nematoide, {
# cbind(y = nema,
# Pois = nematoide$off * exp(X %*% coef(m0)),
# Gcnt = nematoide$off * exp(X %*% coef(m1)[-1]))
# })
# Predito do número de nematóides por grama de raíz.
pred <- with(nematoide, {
data.frame(y = nema/off,
Pois = c(exp(X %*% coef(m0))),
Gcnt = c(exp(X %*% coef(m3)[-1])))
})
str(pred)
splom(pred) + layer(panel.abline(a = 0, b = 1))
# Correlação predito x observado.
cor(pred)
# Média das observações de das estimativas por cultivar.
predm <- aggregate(as.matrix(pred) ~ cult, data = nematoide, FUN = mean)
cor(predm[, -1])
#-----------------------------------------------------------------------
# Predição com intervalos de confiança.
pred <- unique(subset(nematoide, select = cult))
X <- model.matrix(~cult, data = pred)
pred <- list(pois = pred, quasi = pred, gcnt = pred)
# Quantil normal.
qn <- qnorm(0.975) * c(lwr = -1, fit = 0, upr = 1)
# Preditos pela Poisson.
aux <- confint(glht(m0, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$pois <- cbind(pred$pois, exp(aux))
# Preditos pela Quasi-Poisson.
aux <- confint(glht(m1, linfct = X),
calpha = univariate_calpha())$confint
colnames(aux)[1] <- "fit"
pred$quasi <- cbind(pred$quasi, exp(aux))
# Preditos pela Poisson Generalizada.
V <- vcov(m3)
V <- V[-1, -1]
U <- chol(V)
aux <- sqrt(apply(X %*% t(U), MARGIN = 1,
FUN = function(x) { sum(x^2) }))
pred$gcnt$eta <- c(X %*% coef(m3)[-1])
pred$gcnt <- cbind(pred$gcnt,
apply(outer(aux, qn, FUN = "*"), MARGIN = 2,
FUN = function(x) {
exp(pred$gcnt$eta + x)
}))
pred <- ldply(pred, .id = "modelo")
pred <- arrange(pred, cult, modelo)
key <- list(type = "o", divide = 1,
lines = list(pch = 1:nlevels(pred$modelo),
lty = 1, col = 1),
text = list(c("Poisson", "Quasi-Poisson",
"Poisson Generelizada")))
xyplot(nema/off ~ cult, data = nematoide,
key = key,
xlab = "Cultivar de feijão",
ylab = "Número de nematóides por grama de raíz") +
as.layer(
xyplot(fit ~ cult, data = pred,
pch = pred$modelo,
ly = pred$lwr, uy = pred$upr,
cty = "bars", length = 0,
prepanel = prepanel.cbH,
desloc = 0.25 * scale(as.integer(pred$modelo),
scale = FALSE),
panel = panel.cbH))
#-----------------------------------------------------------------------
# Resíduos de Pearson.
X <- model.matrix(m0)
# # Resíduos de Pearson no Poisson.
# with(nematoide, {
# y <- nema
# # haty <- fitted(m0)
# haty <- nematoide$off * exp(X %*% coef(m0))
# sdy <- sqrt(haty)
# cbind((y - haty)/sdy,
# residuals(m0, type = "pearson"))
# })
# Resíduos de Pearson do Poisson Generalizado.
rp <- with(nematoide, {
y <- nema
alph <- coef(m3)["alpha"]
haty <- c(nematoide$off * exp(X %*% coef(m3)[-1]))
sdy <- sqrt(haty) * (1 + alph * haty)
(y - haty)/sdy
})
rp <- stack(data.frame(Pois = residuals(m0, type = "pearson"),
Gcnt = rp))
qqmath(~values | ind, data = rp,
xlab = "Quantis teóricos",
ylab = "Resíduos de Pearson",
panel = function(...) {
panel.qqmathline(...)
panel.qqmath(...)
})
```
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