Slides de revisão dos métodos.

slides/overview.Rmd

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+title: "Inferência via abordagens computacionalmente intensivas"
+author: "Walmes Zeviani"
+#date: "June 29, 2018"
+classoption: "aspectratio=34, serif, professionalfont"
+header-includes: |
+  \let\oldShaded\Shaded
+  \let\endoldShaded\endShaded
+  \renewenvironment{Shaded}{\tiny\oldShaded}{\endoldShaded}
+  \let\oldverbatim\verbatim
+  \let\endoldverbatim\endverbatim
+  \renewenvironment{verbatim}{\tiny\oldverbatim}{\endoldverbatim}
+  \usepackage{palatino}
+  \usepackage{inconsolata}
+output:
+  beamer_presentation:
+    highlight: haddock
+---
+
+```{r setup, include=FALSE}
+knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, size = "footnotesize")
+```
+
+# Introdução
+
+A lógica dos testes de hipótese frequentistas:
+
+  1. Definir a **hipótese nula** e hipótese alternativa.
+  2. Determinar uma **estatística de teste** calculada a partir dos
+     dados.
+  3. Estabelecer a **região crítica** para tomar decisão.
+
+A região crítica é baseada na **distribuição amostral** da estatística
+de teste sob a hipótese nula.
+
+# Exemplo
+
+```{r}
+# Tabela.
+unstack(sleep, form = extra ~ group)
+```
+
+---
+
+```{r}
+# Gráfico.
+plot(extra ~ group, data = sleep)
+```
+
+---
+
+```{r}
+# Teste de hipótese.
+t.test(extra ~ group, data = sleep, var.equal = TRUE)
+```
+
+---
+
+Sob a hipótese nula $H_0: \delta = \mu_1 - \mu_2 = 0$, a estatística
+$$
+  t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - \delta}{\sqrt{s^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}
+  \sim t_{\text{Student}}(\nu = n_1 + n_2 - 2)
+$$
+
+---
+
+```{r}
+# Simulação.
+N <- 1000
+n <- 10
+
+t_val <- replicate(N, {
+    # Amostras independentes da mesma população (H_0 verdadeira).
+    x_1 <- rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
+    x_2 <- rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
+    # Diferença entre médias (H_0: delta == 0).
+    d <- mean(x_1) - mean(x_2)
+    # Variância combinada.
+    s2 <- ((n - 1) * var(x_1) + (n - 1) * var(x_2))/(2 * n - 2)
+    # Estatística do teste.
+    t <- d/sqrt(s2 * (2/n))
+    return(t)
+})
+```
+```{r den_ecdf, eval = FALSE}
+# Distribuição empírica vs distribuição teórica.
+par(mfrow = c(2, 1))
+plot(density(t_val), main = NA)
+curve(dt(x, df = 2 * n - 2), add = TRUE, col = 2)
+plot(ecdf(t_val), main = NULL)
+curve(pt(x, df = 2 * n - 2), add = TRUE, col = 2)
+layout(1)
+```
+
+---
+
+```{r, eval = TRUE, echo = FALSE, ref.label = "den_ecdf"}
+```
+
+---
+
+  * Distribuição amostral é a distribuição de uma estatística (qualquer
+    função da amostra) ao longo de todas as amostras de mesmo tamanho de
+    uma população.
+  * Algumas estatísticas de teste tiveram a distribuição amostral
+    determinada, e.g., $t$ de Student, $F$ de Snedecor, etc.
+  * Com a distribuição amostral pode-se fazer:
+    * Testes de hipótese;
+    * Intervalos de confiança;
+    * Determinação de tamanho de amostra;
+  * A distribuição de uma estatística de teste pode ser exata ou
+    aproximada.
+  * Com isso o teste pode ser exato ou aproximado.
+
+---
+
+## Algumas situações
+
+  * Não possuem um teste de hipótese apropriado.
+  * As suposições para os testes não são atendidas.
+  * O teste tem aproximação ruim com a amostra pequena.
+
+## Abordagens consideradas
+
+  * Teste de aleatorização (permutação).
+  * Jackknife.
+  * Bootstrap.
+  * Simulação Monte Carlo.
+
+# Testes de Aleatorização
+
+  * Abordagem baseada em permutação das observações.
+  * São considerados testes livre de distribuição.
+  * Faz suposições sobre o processo gerador dos dados.
+  * Cálculo da estatística de teste:
+    * No conjunto de todos os arranjos possíveis (exaustivo):
+      distribuição amostral exata.
+    * Amostra do conjunto completo de arranjos (reamostragem sem
+      reposição).
+
+# Uma senhora toma chá
+
+  * Aconteceu com Fisher e Muriel Bristol.
+  * Fisher descreve em seu livro em 1935.
+  * A senhora declarou saber discriminar bebida conforme a ordem em que
+    chá e leite eram adicionados à xícara.
+  * $H_0$: a senhora não sabe distinguir (classifica aleatoriamente).
+  * Experimento: 8 xícaras, 4 de cada tipo servidas aleatoriamente.
+  * Resposta: a classificação de 4 xícaras de um tipo.
+
+---
+
+## Perguntas
+
+  * Quantos arranjos possíveis?
+  * Qual a chance da senhora acertar todas por mero acaso?
+  * Qual a chance de acertar 3 em 4?
+  * Qual a região crítica?
+
+## Respostas
+
+  * $\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = 70$.
+  * É 1/70 pois só existe uma forma correta no universo das 70.
+  * "Arranjos de 3 corretos em 4 selecionados" $\times$ "arranjos de 1
+    errado em 4 selecionados": $\binom{4}{3} \cdot \binom{4}{1} = 16$,
+    então 16/70 $\approx$ 0.23.
+  * Ao nível de 5%, a hipótese nula será rejeitada apenas se a senhora
+    acertar as 4 xícaras pois 1/70 $\approx$ 0.14 $<$ 0.05.
+
+---
+
+Mais exemplos nos scripts.
+
+# Jackknife
+
+  * Jackknife é uma espécie de canivete suiço.
+  * Equipado com várias ferramentas, fácil transporte.
+  * Mas ferramentas especializadas são melhores que as desse canivete.
+  * Proposto por Tukey.
+
+---
+
+## A inspiração para a abordagem
+
+A ideia é fundamentada no estimador da média
+$$
+  \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i.
+$$
+
+A média com a $j$-ésima observação removida, $\bar{X}_{-j}$, é
+$$
+  \bar{X}_{-j} = \frac{1}{n - 1}
+  \left[ \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) - X_j \right].
+$$
+
+Combinando as expressões anteriores, pode-se determinar o valor de $X_j$
+por
+$$
+  X_j = n\bar{X} - (n - 1) \bar{X}_{-j}.
+$$
+
+Essa expressão não tem valor para o caso da média, que serviu apenas de
+inspiração.  Mas tem utilidade para outras estatísticas.
+
+---
+
+## O caso geral
+
+Suponha que $\theta$ seja um parâmetro a ser estimado a partir de uma
+função dos dados (amostra de tamanho $n$)
+$$
+  \hat{\theta} = f(X_1, X_2, \ldots, X_n).
+$$
+
+A quantidade
+$$
+  \theta_j^{*} = n \hat{\theta} - (n - 1) \hat{\theta}_{-j}
+$$
+é denominada de *pseudo-valor* e se baseia nas diferenças entre a
+estimativa com todas as observações ($\hat{\theta}$) e a *estimativa
+parcial*, ou seja, aquela sem a $j$-ésima observação
+($\hat{\theta}_{-j}$).
+
+O estimador pontual de Jackknife é definido por
+$$
+  \hat{\theta}^{*} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \theta_j^{*},
+$$
+ou seja, **é a média dos pseudo-valores**.
+
+---
+
+Os valores $\hat{\theta}$ e $\hat{\theta}^{*}$ não são iguais para o
+caso da média amostral mas não necessariamente iguais nos casos gerais.
+
+Se for assumido que os valores $\theta_j^{*}$, $j = 1, \ldots, n$, são
+independentes, a variância do estimador de Jackknife (inspirado pelo
+caso da média) é dados por
+$$
+\text{Var}(\hat{\theta}^{*}) = \frac{S_{\theta^{*}}^2}{n},
+  \quad S_{\theta^{*}}^2 = \frac{1}{n - 1}
+  \sum_{j = 1}^n (\theta_j^{*} - \hat{\theta}^{*})^2.
+$$
+
+---
+
+## Alguns cuidados
+
+  * Os pseudo valores são correlacionados em algum grau, com isso, a
+    variância do estimador Jackknife é viciada.
+  * Com isso, cuidado é exigido para a construção de intervalos de confiança.
+  * TODO;
+
+# Bootstrap
+
+# Monte Carlo