Adiciona slides de metodos metropolis para GNA.

slides/06-mcmc.Rnw

+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+
+% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
+\input{config/preamble.tex}
+% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
+\addbibresource{config/refs.bib}
+
+<<include = FALSE>>=
+source("config/setup.R")
+@
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\title{Métodos baseados no aceitação e rejeição}
+\subtitle{Amostrador independente e Metropolis Random Walk}
+\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\begin{document}
+
+{\setbeamertemplate{footline}{}
+  \frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
+}
+
+\begin{frame}{}
+
+  {\large Justificativas}
+
+  \begin{itemize}
+  \item O método da aceitação e rejeição é útil, porém tem limitações.
+  \item Método baseados nele foram propostos e são utilizados em vários
+    contextos, principalmente em inferência bayesiana.
+  \end{itemize}
+
+  {\large Objetivos}
+
+  \begin{itemize}
+  \item Apresentar o método do amostrador independente.
+  \item Apresentar o método do Metropolis Random Walk.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}[allowframebreaks]{O amostrador independente}
+
+  % TODO: https://rpubs.com/mlanier/metro_paper
+
+  Objetivo: gerar números de uma v.a. $X$ a partir de valores de uma
+  v.a. canditada $Y$.
+
+  \begin{enumerate}
+  \item Escolher uma v.a. $Y$ para gerar valores candidatos para a
+    v.a. alvo $X$. O suporte de $Y$ deve conter o de $X$. Tem-se que ter
+    um GNA para $Y$. A função de densidade de ambas, $f_{X}(x)$ e
+    $f_{Y}(y)$ deve ser computável para todo $x$.
+  \item Fornecer um valor inicial $x_0 = y_0$.
+  \item Criar a variável contadora $i = 1$.
+
+    \framebreak
+
+  \item Gerar um valor $y_{i}$ com o GNA da v.a. $Y$.
+  \item Gerar um número uniforme $u$ vindo da $\text{U}(0, 1)$.
+  \item Calcular a probabilidade de aceitação
+    \begin{equation}
+      r = \frac{
+        \frac{f_X(y_i)}{f_X(x_{i-1})}
+      }{
+        \frac{f_Y(y_i)}{f_Y(x_{i-1})}
+      } =
+      \frac{f_X(y_i)}{f_X(x_{i-1})} \frac{f_Y(x_{i - 1})}{f_Y(y_i)} =
+      \frac{f_X(y_i)}{f_Y(y_i)} \frac{f_Y(x_{i - 1})}{f_X(x_{i-1})}.
+    \end{equation}
+  \item Se $u < r$, fazer $x_{i} = y_{i}$, caso contrário, fazer $x_{i} = x_{i - 1}$.
+  \item Incrementar $i$ em uma unidade.
+  \item Repetir de 4--8 até atingir o número desejado de valores de $X$.
+  \end{enumerate}
+
+Código exemplo: \url{http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2014-02/ce089-2014-02-aula06.html}.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Aspectos importantes}
+
+  \begin{itemize}
+  \item A cadeia de números aleatórios irá apresentar valores repetidos.
+  \item Um número grande $n$ de valores de $X$ deve ser gerado para que
+    a distribuição seja apropriadamente representada (convergência da
+    cadeia).
+  \item Pode-se, ao final, reamostrar um número $m < n$ de valores para
+    ter uma amostra independente.
+  \item Tal amostragem pode ser sistemática, pegando um elemento a cada
+    $k$ consecutivos (raleamento).
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}[allowframebreaks]{O Metropolis Random Walk}
+
+  % TODO: https://en.wikipedia.org/wiki/Metropolis%E2%80%93Hastings_algorithm
+
+  Objetivo: gerar números de uma v.a. $X$ a partir de valores de uma
+  v.a. canditada $Y$.
+
+  \begin{enumerate}
+  \item Escolher uma v.a. $Y$ para gerar valores candidatos para a
+    v.a. alvo $X$. O suporte de $Y$ deve ser da mesma natureza que
+    $X$. Tem-se que ter um GNA para $Y$. A função de densidade de ambas,
+    $f_{X}(x)$ e $f_{Y}(y)$ deve ser computável para todo $x$.
+  \item A v.a. $Y$ deve ter uma \textbf{função de densidade simétrica}.
+  \item Fornecer um valor inicial $x_0 = y_0$.
+  \item Criar a variável contadora $i = 1$.
+
+    \framebreak
+
+  \item Gerar um valor $y_{i}$ com o GNA da v.a. condicional $Y$, ou
+    seja, $f_{Y}(y|x_{i-1})$.
+  \item Gerar um número uniforme $u$ vindo da $\text{U}(0, 1)$.
+  \item Calcular a probabilidade de aceitação
+    \begin{equation}
+      r = \frac{f_X(y_i)}{f_X(x_{i - 1})}.
+    \end{equation}
+  \item Se $u < r$, fazer $x_{i} = y_{i}$, caso contrário, fazer $x_{i} = x_{i - 1}$.
+  \item Incrementar $i$ em uma unidade.
+  \item Repetir de 4--9 até atingir o número desejado de valores de $X$.
+  \end{enumerate}
+
+Código exemplo: \url{http://leg.ufpr.br/~walmes/ensino/ce089-2014-02/ce089-2014-02-aula06.html}.
+
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Aspectos importantes}
+
+  \begin{itemize}
+  \item Valem as mesmas considerações do amostrador independente.
+  \item Se a função de densidade da v.a. candidata não for simétrica,
+    uma modificação do cálculo da probabilidade de aceitação deve ser
+    feito.
+  \item Isso leva ao algorítimo de Metropolis-Hastings (mais geral).
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+{
+  \usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
+  % \setbeamersize{text margin left=30mm}
+
+  \begin{frame}[b]{}
+
+    \hspace*{0.5\linewidth}
+    \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
+
+      \hi{Próxima aula}
+      \begin{itemize}
+      \item Casos especiais de GNA de números aleatórios.
+      \item GNA para a distribuição Normal.
+      \end{itemize}
+
+      \hi{Avisos}
+      \begin{itemize}
+      \item Sabatina estará disponível de Qui 12h00 ao Sáb 23h59.
+      \end{itemize}
+
+      \vspace{3em}
+    \end{minipage}
+
+\end{frame}
+}
+
+% %-----------------------------------------------------------------------
+% \begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
+%   \frametitle{Referências bibliográficas}
+%
+%   \printbibliography[heading=none]
+% \end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\end{document}