Adiciona slides de bootstrap e monte carlo.

_site.yml

@@ -49,6 +49,10 @@ navbar:
         href: slides/08-aleatorizacao.pdf
       - text: "Testes de aleatorização (html)"
         href: tutoriais/09-aleatorizacao.html
+      - text: "Bootstrap (slides)"
+        href: slides/09-bootstrap.pdf
+      - text: "Monte Carlos (slides)"
+        href: slides/10-monte-carlo.pdf
       - text: "----------"
       - text: "Arquivos complementares"
       - text: "GNA Uniformes (2015)"

slides/09-bootstrap.Rnw

+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+
+% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
+\input{config/preamble.tex}
+% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
+\addbibresource{config/refs.bib}
+\addbibresource{../config/Refs.bib}
+
+<<include = FALSE>>=
+source("config/setup.R")
+@
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\title{Testes de aleatorização}
+\subtitle{Fundamentos e aplicações}
+\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\begin{document}
+
+{\setbeamertemplate{footline}{}
+  \frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
+}
+
+\begin{frame}{}
+
+  {\large Justificativas}
+
+  \begin{itemize}
+  \item Métodos computacionalmente intensivos para inferência
+    estatística são usados quando as abordagens tradicionais não são
+    adequadas.
+    \begin{itemize}
+    \item Resultados assintóticos em pequenas amostras.
+    \item Violação de pressupostos.
+    \item Não existência de mecanísmos de inferência específicos.
+    \end{itemize}
+  \item Tais métodos se baseiam em reamostragem e/ou simulação.
+  \item Podem ser aplicados em muitos contextos.
+  \end{itemize}
+
+  {\large Objetivos}
+
+  \begin{itemize}
+    \item TODO
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Bootstrap: visão geral}
+
+  \begin{itemize}
+  \item Boostrap foi apresentado de forma sistematizada por
+    \cite{Efron1979}.
+  \item O termo bootstrap foi usado por \cite{Efron1979} com o mesmo
+    espírito que \cite{Tukey1958} usou Jackknife.
+  \item O método já havia sido usado em circustâncias anteriores.
+  \item Bootstrap é um \hi{método de reamostragem} que pode usado para
+    avaliar propriedades de estimadores e fazer inferência.
+  \item Bootstrap é um método de Monte Carlo pois usa a \hi{distribuição
+      empírica} dos dados como se fosse a verdadeira distribuição.
+  \item Principais aplicações de bootstrap:
+    \begin{itemize}
+    \item Avaliar propriedades da distribuição de estimadores para
+      seleção, ajuste de vício, etc.
+    \item Substituir ou aprimorar a adequação de abordagens assintóticas
+      em amostras pequenas: intervalos de confiança, testes de hipótese.
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Funcionamento}
+  \begin{itemize}
+  \item Considere uma amostra de observações iid $x_i$, $i = 1, \ldots, n.$
+  \item Usando a distribuição empírica, cada valor $x_i$ tem igual
+    probabilidade de $1/n$ de ocorrer.
+  \item Considere que $\theta$ seja um parâmetro de interesse que dispõe
+    de um estimador $\hat{\theta} = f(X_1, \ldots, X_n)$.
+  \item Uma \hi{amostra bootstrap} é um conjunto de valores extraídos ao
+    acaso \hi{com reposição} da amostra original.
+  \item A estimativa de $\theta$ na $b$-ésima reamostra bootstrap é
+    $\hat{\theta}_b^\star$.
+  \item A estimativa pontual bootstrap é o valor médio
+    \begin{equation}
+      \hat{\theta}^\star = \frac{1}{B} \sum_{b = 1}^{B} \hat{\theta}_b^\star
+    \end{equation}
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}[allowframebreaks]{Intervalos de confiança}
+  \begin{itemize}
+  \item O intervalo de confiança padrão bootstrap é calculado por
+    \begin{eqnarray}
+      \text{estimativa bootstrap}\!\! &\pm& \!\! \text{quantil}_{\alpha/2}\cdot \text{erro padr\~ao bootstrap}\\
+      \hat{\theta}^\star \!\! &\pm& \!\! z_{\alpha/2} \left(\sum_{b = 1}^B \frac{(\hat{\theta}_b^\star - \hat{\theta}^\star)^2}{B - 1} \right).
+    \end{eqnarray}
+  \item Assume-se que
+    \begin{enumerate}
+    \item $\hat{\theta}$ tem distribuição aproximadamente normal;
+    \item $\hat{\theta}$ é um estimador não viciado.
+    \end{enumerate}
+  \item Este tipo de intervalo não requer um valor alto para $B$.
+  \item O vício do estimador pode ser determinado pelo próprio procedimento.
+
+    \framebreak
+
+  \item O intervalo de confiança padrão bootstrap (IC-padrão) é válido e
+    pode ser usado em situações em que inferência assintótica é difícil
+    de aplicar.
+  \item O IC-padrão é assintoticamente acurado tal como são os
+    intervalos baseados na distribuição normal.
+  \item Intervalos feitos usando quantis da distribuição $t$ são mais
+    acurados para estimadores em amostras pequenas.
+  \item Muitas variações do IC-padrão foram desenvovidas para produzir
+    inferência de melhor qualidade.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Intervalos de confiança}
+  \begin{itemize}
+  \item O intervalo de confiança percentil bootstrap é determinado por
+    \begin{equation}
+      (\hat{\theta}_{\alpha/2}^\star, \hat{\theta}_{1 - \alpha/2}^\star),
+    \end{equation}
+    que correspondem aos percentis $\alpha/2$ e $1 - \alpha/2$.
+  \item Este intervalo
+    \begin{enumerate}
+    \item não faz suposições sobre a distribuição de $\hat{\theta}$;
+    \item requer maior valor para $B$ que o intervalo de confiança padrão.
+    \end{enumerate}
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Ajuste de vício}
+  \begin{itemize}
+  \item O bootstrap fornece uma abordagem intuitiva
+    \begin{equation}
+      \text{E}(\hat{\theta} - \theta) \approx \text{E}_B(\hat{\theta}_j^\star - \hat{\theta}) = \hat{\theta}^\star - \hat{\theta}.
+    \end{equation}
+  \item Ou seja, considere a distribuição empírica como sendo a
+    distribuição verdadeira e determine o viés médio usando a média das
+    amostras bootstrap.
+  \item Atenção: ao estimar o vício deveria-se adicionar o erro
+    amostral.
+  \end{itemize}
+
+  Conteúdo baseado em \url{https://ocw.mit.edu/courses/sloan-school-of-management/15-450-analytics-of-finance-fall-2010/lecture-notes/MIT15_450F10_lec09.pdf}.
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+{
+  \usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
+  % \setbeamersize{text margin left=30mm}
+
+  \begin{frame}[b]{}
+
+    \hspace*{0.5\linewidth}
+    \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
+
+      \hi{Próxima aula}
+      \begin{itemize}
+      \item Intervalos de confiança com correção para o vício.
+      \item Aplicações de bootstrap.
+      \item Bootstrap paramétrico.
+      \end{itemize}
+
+      \hi{Avisos}
+      \begin{itemize}
+      \item Sabatina estará disponível a partir de Qua.
+      \end{itemize}
+
+      \vspace{3em}
+    \end{minipage}
+
+\end{frame}
+}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
+  \frametitle{Referências bibliográficas}
+
+  \printbibliography[heading=none]
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\end{document}

slides/10-monte-carlo.Rnw

+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\documentclass[serif, professionalfont, usenames, dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+
+% ATTENTION: preamble.tex contains all style definitions.
+\input{config/preamble.tex}
+% \usepackage[backend=bibtex, style=authoryear]{biblatex}
+\addbibresource{config/refs.bib}
+\addbibresource{../config/Refs.bib}
+
+<<include = FALSE>>=
+source("config/setup.R")
+@
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\title{Inferência por abordagens de Monte Carlo}
+\subtitle{Fundamentos e aplicações}
+\date{\small{ \Sexpr{sprintf('Atualizado em %s', Sys.Date())}}}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+
+\begin{document}
+
+{\setbeamertemplate{footline}{}
+  \frame{\titlepage} %--------------------------------------------------
+}
+
+\begin{frame}{}
+
+  {\large Justificativas}
+
+  \begin{itemize}
+  \item Métodos computacionalmente intensivos para inferência
+    estatística são usados quando as abordagens tradicionais não são
+    adequadas.
+    \begin{itemize}
+    \item Resultados assintóticos em pequenas amostras.
+    \item Violação de pressupostos.
+    \item Não existência de mecanísmos de inferência específicos.
+    \end{itemize}
+  \item Tais métodos se baseiam em reamostragem e/ou simulação.
+  \item Podem ser aplicados em muitos contextos.
+  \end{itemize}
+
+  {\large Objetivos}
+
+  \begin{itemize}
+    \item Definir o que são os métodos de Monte Carlos.
+    \item Apresentar aplicações.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+% ATTENTION: Referências.
+% TODO: http://www.palisade.com/risk/monte_carlo_simulation.asp
+
+% -----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Questões históricas}
+  \begin{itemize}
+  \item Foi um método introduzido durante a II Guerra Mundial.
+  \item No projeto de construção da bomba atómica, Stanisław Ulam, von
+    Neumann e Fermi consideraram a possibilidade de utilizar o método,
+    que envolvia a simulação direta de problemas de natureza
+    probabilística relacionados com o coeficiente de difusão do neutron
+    em certos materiais.
+  \item O nome Monte Carlo é uma referência ao resort town (cassino) de
+    Mônaco por causa da natureza aleatória da abordagem.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{O que são métodos de Monte de Carlo}
+  \begin{itemize}
+  \item Corresponde a métodos baseados em simulação estocástica massiva para:
+    \begin{itemize}
+    \item Aproximação de funções e de integrais.
+    \item Estimação de valores médios ou obtenção de distribuições amostrais.
+    \item Avaliação de propriedades de um estimador pontual/intervalar.
+    \item Avaliação de propriedades de testes de hipótese.
+    \item Determinação de tamanhos amostrais e curvas de poder.
+    \item Dentre outras várias aplicações.
+    \end{itemize}
+  \item Em outras palavras, envolvem a simulação de experimentos ou
+    sistemas em que pelo menos um componente aleatório esteja presente
+    \parencite{ferreira2013estcompjava}.
+  \item É imprescindivel, portanto, recursos para geração de números
+    aleatórios das distribuições envolvidas no problema.
+  \item Métodos de bootstrap e de testes de aleatorização são casos
+    particulares de Monte Carlo.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+% Método de Monte Carlo para determinar a taxa de erro tipo I de teste.
+
+\begin{frame}{Exemplo: avaliar a taxa de erro tipo I de um teste de hipótese}
+  \begin{enumerate}
+  \item Gerar uma realização do modelo assumido para os dados sob a
+    hipótese nula.
+  \item Sob a hipótese nula, delimitar a região de aceitação e rejeição
+    considerando nível de significância $\alpha$.
+  \item Aplicar o teste sob os dados simulados.
+  \item A partir do teste, tomar a decisão correspondente e guardar o resultado.
+  \item Repetir de 1 a 4 $M$ vezes.
+  \item Calcular a proporção de vezes em foi feita a rejeição da hipótese nula.
+  \item Se a proporção for superior a $\alpha$, o teste é liberal, caso
+    contrário é conservador, para o nível de significância adotado.
+  \end{enumerate}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+% Método de Monte Carlo para determinar a taxa de cobertura de IC.
+
+\begin{frame}{Exemplo: avaliar a taxa de cobertura de um estimador intervalar}
+  \begin{enumerate}
+  \item Gerar uma realização do modelo assumido para os dados.
+  \item Definir o nível de confiança $1 - \alpha$ para obtenção dos
+    intervalos de confiança.
+  \item Determinar o intervalo de confiança com os dados simulados.
+  \item Verificar se o intervalo construído contém o verdadeiro valor do
+    parâmetro usado para simular os dados e guardar o resultado.
+  \item Repetir de 1 a 4 $M$ vezes.
+  \item Calcular a proporção de vezes em que o intervalo conteve o valor do parâmetro.
+  \item Se a proporção for superior a $1 - \alpha$, o intervalo é conservador, caso
+    contrário é liberal, para o nível de confiança adotado.
+  \end{enumerate}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Exemplo: construção da curva de poder do teste}
+  Curva de poder sob um tamanho de amostra fixo.
+  \begin{enumerate}
+  \item Defina um conjunto de valores
+    $\Delta = \{0, \delta, 2\delta, \ldots, k\delta\}$ em que $0$
+    corresponde à hipótese nula $H_0: \theta = \theta_0$. Os demais
+    correspondem a incrementos $\delta$ em $\theta_0$ e fazem o
+    afastamento da $H_0$ com relação ao parâmetro sob hipótese $\theta$.
+  \item Sob $H_0$, delimitar a região de aceitação e rejeição
+    considerando nível de significância $\alpha$.
+  \item Para cada valor em $\Delta$, definir
+    $\theta_a = \theta_0 + \Delta_i$ ($i = 0, \ldots, k$), então
+    \begin{enumerate}
+    \item Gerar uma realização do modelo assumido para os dados usando
+      $\theta_a$.
+    \item Aplicar o teste para $H_0$ com os dados simulados.
+    \item A partir do teste, tomar a decisão correspondente e guardar o
+      resultado.
+    \item Repetir de 1 a 3 $M$ vezes.
+    \item Calcular a proporção de vezes em foi feita a rejeição de $H_0$.
+    \end{enumerate}
+  \item Fazer o gráfico da taxa de rejeição de $H_0$ para cada valor em $\Delta$.
+  \end{enumerate}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}{Considerações até aqui}
+  \begin{itemize}
+  \item Nos métodos de Monte Carlo deve-se assumir distribuição de
+    probabilidades para as variáveis aleatórias do modelo/sistema.
+  \item Essa é uma das principais desvantagens, conforme
+    \cite{ferreira2013estcompjava}.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+{
+  \usebackgroundtemplate{\includegraphics[height=\paperheight, width=\paperwidth]{../img/looking-ahead.jpg}}
+  % \setbeamersize{text margin left=30mm}
+
+  \begin{frame}[b]{}
+
+    \hspace*{0.5\linewidth}
+    \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
+
+      \hi{Próxima aula}
+      \begin{itemize}
+      \item Testes de hipótese Monte Carlo.
+      \item Comparação de testes concorrentes.
+      \item Avaliação do desempenho de testes com fuga dos pressupostos.
+      \item Outras aplicações.
+      \end{itemize}
+
+      \hi{Avisos}
+      \begin{itemize}
+      \item Sabatina estará disponível a partir de Amanhã às 19h.
+      \end{itemize}
+
+      \vspace{3em}
+    \end{minipage}
+
+\end{frame}
+}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\begin{frame}[t, fragile, allowframebreaks]
+  \frametitle{Referências bibliográficas}
+
+  \printbibliography[heading=none]
+\end{frame}
+
+%-----------------------------------------------------------------------
+\end{document}

slides/config/refs.bib

@@ -49,3 +49,16 @@
 
   Url                      = {https://www.amazon.com/Computer-Age-Statistical-Inference-Mathematical-ebook/dp/B01L27MR64?SubscriptionId=0JYN1NVW651KCA56C102&tag=techkie-20&linkCode=xm2&camp=2025&creative=165953&creativeASIN=B01L27MR64}
 }
+
+@article{Efron1979,
+ ISSN = {00905364},
+ URL = {http://www.jstor.org/stable/2958830},
+ author = {B. Efron},
+ journal = {The Annals of Statistics},
+ number = {1},
+ pages = {1--26},
+ publisher = {Institute of Mathematical Statistics},
+ title = {Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife},
+ volume = {7},
+ year = {1979}
+}